Propiedad de Luzin

La propiedad de Luzin o propiedad de N es una de las propiedades de regularidad débiles para funciones utilizadas en el análisis real .

El nombre de Nikolai Luzin .

Redacción

Una función definida en un intervalo real tiene la propiedad de Luzin si, para un subconjunto arbitrario de medida de Lebesgue cero, su imagen también tiene medida de Lebesgue cero. En otras palabras, para cualquier subconjunto , $f\colon \mathbb {I} \to \mathbb {R} ,$ $\mathbb {I} \subconjunto \mathbb {R} ,$ $N\subconjunto \mathbb {I}$

\lambda (N)=0\quad \Rightarrow \quad \lambda (f(N))=0,

donde denota la medida de Lebesgue. $\lambda$

Ejemplos

Toda función absolutamente continua tiene la propiedad de Luzin.

La escalera de Cantor no tiene la propiedad de Luzin: la medida de Lebesgue de un conjunto de Cantor es igual a cero, pero su imagen es todo el intervalo [0,1].

Propiedades

Si una función f en el segmento [a,b] es continua , tiene variación acotada y tiene la propiedad de Luzin, entonces es absolutamente continua .

Enlaces externos

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