Conjunto cantor

El conjunto de Cantor ( Cantor discontinuum , Cantor dust ) es uno de los fractales más simples , un subconjunto del segmento unitario de la recta real , que es un ejemplo clásico de discontinuidad en el análisis matemático .

Descrito en 1883 por Georg Cantor . Con esto respondió a la siguiente pregunta de Magnus Mittag-Leffler en una carta fechada el 21 de junio de 1882: [1]

Definiciones

Construcción clásica

De un solo segmento , quitamos el tercio medio, es decir, el intervalo . El conjunto de puntos restante se indicará con . El conjunto consta de dos segmentos; Quitemos ahora su tercio medio de cada segmento, y denotemos el conjunto restante por . Repitiendo este procedimiento nuevamente, eliminando los tercios medios de los cuatro segmentos, obtenemos . Además, de la misma manera, obtenemos una sucesión de conjuntos cerrados . intersección

se llama conjunto de Cantor .

Conjuntos

Con notación ternaria

El conjunto de Cantor también se puede definir como un conjunto de números de cero a uno que se pueden representar en notación ternaria usando solo ceros y dos (los números con una unidad en el enésimo dígito se cortan en el enésimo paso de construcción). Un número pertenece al conjunto de Cantor si tiene al menos una de esas representaciones, por ejemplo , desde .

En tal notación, es fácil ver la continuidad del conjunto de Cantor.

Como atractor

El conjunto de Cantor se puede definir como un atractor . Considere todas las sucesiones de puntos tales que para cualquier

Entonces el conjunto de límites de todas esas sucesiones es un conjunto de Cantor.

Como potencia contable de dos puntos simples

En la literatura sobre topología general, un conjunto de Cantor se define como una potencia contable de un espacio discreto de dos puntos  - [2] ; tal espacio es homeomorfo a un conjunto de Cantor construido clásicamente (con la topología euclidiana habitual) [3] [4] .

Propiedades

• El conjunto de Cantor es un conjunto perfecto denso en ninguna parte .
• El conjunto de Cantor es continuo .
• El conjunto de Cantor tiene dimensión topológica 0.
• El conjunto de Cantor tiene una dimensión de Hausdorff intermedia (es decir, no entera ) igual a . En particular, tiene una medida de Lebesgue cero .
• Todo compacto metrizable de dimensión cero sin puntos aislados es homeomorfo a un conjunto de Cantor.
• Todo compacto metrizable es la imagen de un conjunto de Cantor bajo un mapeo continuo .
• El conjunto de Cantor es universal para todos los espacios de dimensión cero con base contable .

Variaciones y generalizaciones

El cubo de Cantor ( cantor discontinuo generalizado ) de peso esla potencia de un espacio discreto de dos puntos. El cubo de Cantor es universal para todos los espacios de peso de dimensión cero como máximo. Todo compacto de Hausdorff de peso como máximoes una imagen continua de un subespacio del cubo de Cantor.

Un conjunto compacto diádico  es un conjunto compacto representable como una imagen continua de un cubo de Cantor. Un espacio diádico [5]  es un espacio topológico para el cual existe una compactación que es un conjunto compacto diádico.

Véase también

• escalera de cantor
• Función de Minkowski
• descuento

Notas

1. ↑ Moore, Gregory H. El surgimiento de conjuntos abiertos, conjuntos cerrados y puntos límite en análisis y topología  //  Historia Math. - 2008. - Vol. 35 , núm. 3 . — págs. 220–241 .
2. ↑ Engelking, 1986 , pág. 136.
3. ↑ Engelking, 1986 , pág. 207-208.
4. ↑ Conjunto de Cantor - Artículo de la Enciclopedia de las Matemáticas . V. V. Fedorchuk
5. ↑ Espacio diádico : artículo de Encyclopedia of Mathematics . V. A. Efimov

Literatura

• Engelking R. . Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p.