Mapeo compresivo

Un mapeo de contracción es un mapeo de un espacio métrico en sí mismo que reduce la distancia entre cualquier punto en un sentido fuerte.

Definición

Sea un operador definido en un espacio métrico . Se llama contraerse si existe un número no negativo tal que para dos puntos cualesquiera la desigualdad $({\matemáticas{M)],\rho )$ $A:{\mathbb {M}}\a {\mathbb {M}}$ ${\ matemáticas {M}}$ $\alfa<1$ $x,y\in {\mathbb{M}}$

{\rho (Ax,Ay)\leqslant \alpha {\cdot}\rho (x,y)}

Propiedades

(Continuidad) Sea un espacio métrico y sea un operador de contracción en . Entonces es una función continua en . $({\matemáticas{M)],\rho )$ ${\matemáticas{}}A$ ${\ matemáticas {M}}$ ${\matemáticas{}}A$ ${\ matemáticas {M}}$

(Punto fijo) Por el teorema de Banach , un mapeo de contracción en un espacio métrico completo tiene un único punto fijo :

{\mathbb {}}x^{{*}}:Ax^{{*}}=x^{{*}}

(Secuencia iterativa) Si tomamos un elemento arbitrario del espacio métrico y consideramos una secuencia de elementos , entonces esta secuencia iterativa convergerá a un punto fijo del operador . $X$ $x,Ax,A^{2}x,....$ $A$

Aplicación

Solución numérica de ecuaciones
Demostración de teoremas de existencia y unicidad en ecuaciones diferenciales e integrales .

Enlaces

A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - 4ª ed. - M. : Nauka, 1976. - 544 p.
Zorich V.A. Análisis matemático , - Cualquier edición.