Derivada parcial mixta

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Definición

Sea la función y sus derivadas parciales ${\ estilo de visualización z = f (x, \; y)}$

{\frac {\parcial f}{\parcial x)),\;{\frac {\parcial f}{\parcial y))

están definidas en alguna vecindad del punto . entonces el limite $(x_{0},\;y_{0})$

\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\displaystyle ({\frac {\parcial f(x_{0},y_{0}+\Delta y)}{\parcial x)) -{\frac {\parcial f(x_{0},\;y_{0})}{\parcial x)))){\Delta y)),

si existe, se llama la derivada mixta (adyacente) de la función en el punto y se denota . $f(x,\;y)$ $(x_{0},\;y_{0})$ ${\frac {\parcial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\parcial y\parcial x))$

Del mismo modo, se define como ${\frac {\parcial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\parcial x\parcial y))$

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\displaystyle ({\frac {\parcial f(x_{0}+\Delta x,\;y_{0})}{\parcial y ))-{\frac {\parcial f(x_{0},\;y_{0})}{\parcial y)))){\Delta x)),

si existiera.

Las derivadas parciales mixtas de orden mayor que dos se definen inductivamente.[ aclarar ]

Designación

${\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial y\parcial x))={\frac {\parcial ^{2}z}{\parcial y\parcial x))=f'' _ {yx}=z''_{yx}$
${\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x\parcial y))={\frac {\parcial ^{2}z}{\parcial x\parcial y))=f'' _ {xy}=z''_{xy}$

Propiedades

Si las derivadas mixtas son continuas en un punto, entonces se cumple la igualdad . ${\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x\parcial y))={\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial y\parcial x))$

Ejemplo de Schwartz

f(x,\;y)={\begin{casos}\displaystyle {xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2} ))),\quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow {\frac {\parcial ^{2}f( 0,\;0)}{\parcial x\parcial y))=-1\neq 1={\frac {\parcial ^{2}f(0,\;0)}{\parcial y\parcial x} }

Es decir, las derivadas mixtas del ejemplo de Schwartz no son iguales.

Hay un teorema sobre la igualdad de derivadas mixtas

Teorema de Schwartz

Que se cumplan las siguientes condiciones:

las funciones se definen en alguna vecindad del punto . $z=f(x,\;y),\;{\frac {\parcial f}{\parcial x)),\;{\frac {\parcial f}{\parcial y)),\; {\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x\parcial y)),\;{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial y\parcial x))$ $(x_{0},\;y_{0})$
${\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x\parcial y)),\;{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial y\parcial x))$ son continuas en el punto . $(x_{0},\;y_{0})$

Entonces , es decir, las derivadas mixtas de segundo orden son iguales en todos los puntos donde son continuas. ${\frac {\parcial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\parcial x\parcial y))={\frac {\parcial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\parcial y\parcial x}}$

El teorema de Schwartz sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas se extiende inductivamente a las derivadas parciales mixtas de órdenes superiores, siempre que sean continuas.

Sin embargo, la condición de continuidad para derivadas mixtas no es necesaria en el teorema de Schwarz.

Ejemplo

$f(x,\;y)={\begin{casos}\displaystyle {\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}, \quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow$ las derivadas mixtas de segundo orden son iguales en todas partes (incluso en el punto ), pero las derivadas parciales de segundo orden no son continuas en el punto ${\ estilo de visualización (0, \; 0)}$ ${\ estilo de visualización (0, \; 0)}$

Prueba

desde entonces $f(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R} ,f(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$ ${\frac {\parcial f}{\parcial x))(0,\;0)={\frac {\parcial f}{\parcial y))(0,\;0)=0$

en otros puntos

${\frac {\parcial f}{\parcial x))(x,\;y)={\frac {2xy^{4)){(x^{2}+y^{2})^ {2}}}$

${\frac {\f parcial}{\parcial y}}(x,\;y)={\frac {2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2}) ^{2}}}$

De este modo,

${\frac {\parcial f}{\parcial x))(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$

${\frac {\parcial f}{\parcial x))(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R}$

Como consecuencia,

${\frac {\parcial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\parcial x\parcial y))={\frac {\parcial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\parcial y\parcial x}}=0$

A ${\ estilo de visualización (x, \; y) \ neq (0, \; 0)}$

${\frac {\parcial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\parcial x\parcial y))={\frac {\parcial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\y parcial\x parcial}}={\frac {8x^{3}y^{3}}{(x^{2}+y^{2 })^{3}}}$

Es fácil ver que la segunda derivada mixta tiene una discontinuidad en , ya que ${\ estilo de visualización (0, \; 0)}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x\parcial y))(x,\;x)=1$ , y, por ejemplo,

$\lim _{x\to 0}{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x\parcial y))(x,\;-x)=-1$

[1] .

Notas

↑ Ter-Krikorov A. M. , Shabunin M. I. Capítulo 5. Funciones de muchas variables // Curso de análisis matemático. - 2ª ed. - M. : MIPT, 1997. - S. 283. - 716 p. — ISBN 5-89155-006-7 .