Cantidades comparables
Cantidades conmensurables es un término histórico que denota cantidades para las cuales existe una medida común . Una medida común de cantidades es una cantidad que es un número entero de veces contenido en cada una de ellas [1] . Si tal medida no existe, entonces tales cantidades se llaman inconmensurables .
Supongamos que la medida común está contenida en las cantidades a y b m y n veces, respectivamente. El número m / n se llama la relación de estas cantidades comparables. La razón de dos cantidades conmensurables se expresa mediante un número racional , e inconmensurable- irracional . Por lo tanto, también decimos que el número a es un múltiplo racional del número b .
Un ejemplo de cantidades inconmensurables es la diagonal de un cuadrado y su lado, ya que su razón ( ) no puede ser representada exactamente por ningún número racional.
Cualquier par (y cualquier conjunto finito) de números racionales son conmensurables. Los números irracionales pueden ser conmensurables (por ejemplo, y , cuya razón es 3), pero también pueden ser inconmensurables.
Historia
Los pitagóricos (siglo VI aC) estaban seguros de que “los elementos de los números son los elementos de todas las cosas… y que todo el mundo en su conjunto es armonía y número ” [2] . Al mismo tiempo, solo reconocieron los números naturales como números ; y consideraban los números fraccionarios como razones de números naturales ( proporciones ) y no consideraban números, ya que la unidad se consideraba indivisible.
La primera grieta en el modelo pitagórico del mundo fue su propia prueba de irracionalidad , formulada geométricamente como la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con su lado (siglo V a. C.). La imposibilidad de expresar la longitud de un segmento ya sea por un número natural o por la razón de números naturales puso en tela de juicio el principio fundamental del pitagorismo. Incluso Aristóteles, que no compartía sus puntos de vista, expresó su asombro por el hecho de que haya cosas que “no se pueden medir con la medida más pequeña” [3] .
El talentoso pitagórico Teeteto trató de salvar la situación . Él (y más tarde Eudoxo ) propuso un nuevo concepto de "cantidad geométrica", que ahora se formulaba en lenguaje geométrico y no había problemas de conmensurabilidad. La teoría de Eudoxo se expone en el Libro V de los Elementos de Euclides . Además de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con su lado, Euclides estableció la inconmensurabilidad de muchos otros pares de cantidades:
- los lados de un pentágono regular y el radio del círculo circunscrito a su alrededor;
- los lados de un decágono regular y el radio del círculo circunscrito a su alrededor;
- las aristas de un poliedro regular ( tetraedro , cubo , octaedro , icosaedro , dodecaedro ) y el radio de la esfera descrita alrededor de este poliedro [4] .
Los seguidores de los científicos antiguos, matemáticos indios e islámicos , descartaron los prejuicios pitagóricos y consideraron cualquier cantidad medible como un número. En Europa, este enfoque fue proclamado por Newton en " Universal Arithmetic " (1707):
Por número entendemos no tanto un conjunto de unidades como una relación abstracta de una cantidad con otra cantidad del mismo tipo, tomada como unidad.
Este enfoque iguala completamente los derechos de cantidades conmensurables e inconmensurables (es decir, números racionales e irracionales ).
Véase también
Notas
- ↑ Cantidades conmensurables e inconmensurables // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1985. - T. 5. - S. 73.
- ↑ Aristóteles . Metafísica. Traducción y notas de A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, págs. 26-27.
- ↑ Aristóteles . Metafísica. Traducción y notas de A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, página 22.
- ↑ Andronov I. K. Matemáticas de números reales y complejos. - Ilustración, 1975. - S. 9-10. — 158 págs.