Pantalla estándar

El mapa estándar , también conocido como mapa estándar de Chirikov y mapa de Chirikov -Taylor , es un mapa no lineal (que conserva el volumen) para dos variables canónicas (momento y coordenadas). El mapeo es conocido por sus propiedades caóticas, que fueron investigadas por primera vez [1] por Boris Chirikov en 1969 . ${\ estilo de visualización (p, \; x)}$

El mapeo viene dado por las siguientes ecuaciones iterativas:

{\begin{matriz}{lcr}{p}_{n+1}=p_{n}+K\sen x_{n},\\{x}_{n+1}=x_{n }+p_{n+1},\end{matriz}}

donde el parámetro controla la aleatoriedad del sistema. $k$

Modelo rotador

El mapeo estándar describe el movimiento de un rotador clásico : una barra fija que no se ve afectada por la fuerza de la gravedad y que gira sin fricción en un plano alrededor de un eje que pasa por uno de sus extremos. El rotador también experimenta impactos de duración infinitamente corta, periódicos en el tiempo (con un período de uno), provocados por una fuerza externa. Variables y corresponden al ángulo de rotación del rotador y su momento angular después del -ésimo impacto. El parámetro describe la fuerza de impacto. La función de Hamilton del rotador se puede escribir como: $x_{n}$ $p_n$ $norte$ $k$

H={\frac {p^{2}}{2}}+K\delta _{Per}(t)\cos x,

donde la función es una función periódica con un período de 1, en un período coincide con la función δ de Dirac . A partir de la función de Hamilton anterior, se obtiene elementalmente el mapeo estándar. $\delta_{Per}(t)$

Propiedades

Para el caso, el mapeo es lineal, por lo que solo existen trayectorias periódicas y cuasi periódicas. Cuando el mapeo se vuelve no lineal, según el teorema KAM , los toros invariantes se destruyen y las capas estocásticas se mueven, en las que la dinámica es caótica. El crecimiento conduce a un aumento de las regiones de caos en el plano de fase . Debido a la periodicidad de la función , la dinámica del sistema se puede considerar sobre un cilindro [tomando ] o sobre un toro [tomando ]. $K=0$ $K\neq 0$ $k$ ${\ estilo de visualización (x, \; p)}$ $\sin(x)$ $x\;{\bmod {\;}}(2\pi )$ $(x,\;p)\;{\bmod {\;))(2\pi )$

Los puntos de visualización estacionarios se determinan a partir de la condición . En el intervalo , tales puntos son y (debido a la simetría del plano de fase del sistema durante la inversión con respecto al punto , los puntos estacionarios y pueden ignorarse). $(x_{n},\;p_{n})=(x_{n+1},\;p_{n+1})$ ${\ estilo de visualización x \ en [0, \; 2 \ pi]}$ ${\ estilo de visualización p \ en [0, \; 2 \ pi]}$ ${\ estilo de visualización (0, \; 0)}$ ${\ estilo de visualización (\ pi, \; 0)}$ ${\ estilo de visualización (x_ {n}, \; p_ {n})}$ ${\ estilo de visualización (\ pi, \; \ pi)}$ ${\ estilo de visualización (0, \; \ pi)}$ ${\ estilo de visualización (\ pi, \; \ pi)}$

El análisis de la estabilidad lineal del mapeo se reduce al análisis del sistema de ecuaciones

\left[{\begin{array}{c}\delta x_{n+1}\\\delta p_{n+1}\end{array}}\right]={\hat {M}} \left[{\begin{matriz}{c}\delta x_{n}\\\delta p_{n}\end{matriz}}\right],

{\hat {M}}=\left[{\begin{array}{cc}1&1+K\cos x_{n}\\1&K\cos x_{n}\end{array}}\right] .

A partir de la condición , se pueden determinar los valores propios de la matriz para ambos puntos estacionarios [ y ]: $\det |{\sombrero {M}}-\lambda {\sombrero {I}}|=0$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {M}}}$ ${\ estilo de visualización (0, \; 0)}$ ${\ estilo de visualización (\ pi, \; 0)}$

\lambda _{\pm }^{(0,\;0)}={\frac {2+K\pm {\sqrt {K^{2}+4K))}{2)),

\lambda _{\pm }^{(\pi ,\;0)}={\frac {2-K\pm {\sqrt {K^{2}-4K}}}{2}}.

Ya que , esto implica la desigualdad . Al mismo tiempo, la desigualdad se cumple para . Así, un punto estacionario es un punto hiperbólico inestable. El punto estacionario es un punto elíptico estable en , porque entonces . Porque el punto estacionario pierde estabilidad y se vuelve hiperbólico. $k>0$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {+} ^ {(0, \; 0)}> 1}$ $\lambda _{-}^{(0,\;0)}<\lambda _{+}^{(0,\;0)}<1$ $k>0$ ${\ estilo de visualización (0, \; 0)}$ ${\ estilo de visualización (\ pi, \; 0)}$ $0\leqslant K<4$ $\mathrm {Re} \left|\lambda _{\pm }^{(\pi ,\;0)}\right|=1$ $K\geqslant 4$ ${\ estilo de visualización (\ pi, \; 0)}$

Por debajo del valor crítico del parámetro (Fig. 1), los toros invariantes dividen el espacio de fase del sistema de tal manera que el momento angular está acotado; en otras palabras, la difusión en la capa estocástica no puede ir más allá de los límites acotados . por los toros invariantes. El toroide invariante “dorado” colapsa cuando el número de rotación alcanza el valor , que corresponde al valor crítico del parámetro (el espacio de fase del sistema para se muestra en la Fig. 2). Por el momento, no se ha demostrado estrictamente que , sin embargo, los cálculos numéricos muestran que lo más probable es que así sea. Hasta la fecha, solo hay evidencia rigurosa de que en , se observa un régimen de caos global, cuando un mar estocástico con islas individuales de estabilidad cubre todo el espacio de fase (ver Fig. 3). Ya no hay toros invariantes que limiten la evolución en el espacio de fase, y podemos hablar de difusión de trayectoria en un mar caótico. ${\ Displaystyle K<K_{c))$ $pags$ $pags$ $r_{g}=({\sqrt {5}}-1)/2$ $K_{g}=0{,}971\ 635\ldots$ $K=0{,}971\ 635$ $K_{c}=K_{g}$ ${\displaystyle K>63/64=0{,}984\;375>K_{c))$

La entropía de Kolmogorov-Sinai del mapeo estándar está bien descrita por la relación de los valores del parámetro de control [2] ${\ estilo de visualización h \ aproximadamente \ ln (K/2)}$ ${\ Displaystyle K> 4}$

Mapa estándar cuántico

La transición al mapeo cuántico estándar ocurre reemplazando las variables dinámicas con operadores mecánicos cuánticos que satisfacen la relación de conmutación , donde es la constante adimensional efectiva de Planck . ${\ estilo de visualización (p, \; x)}$ $({\sombrero {p)),\;{\sombrero {x)))$ $[{\sombrero {p)],\;{\sombrero {x}}]=-i\hbar$ $\hbar$

La principal propiedad de un mapeo cuántico en comparación con el clásico es el llamado fenómeno de localización dinámica , que consiste en la supresión de la difusión caótica debida a efectos cuánticos [3] .

Aplicación

Muchos sistemas y fenómenos físicos se reducen a una pantalla estándar. Esto, en particular,

dinámica de partículas en aceleradores ;
dinámica de cometas en el sistema solar;
ionización por microondas de átomos de Rydberg y autoionización de estados moleculares de Rydberg;
magnetotransporte electrónico en un diodo túnel resonante ;
confinamiento de partículas cargadas en trampas magnéticas de espejo .

El modelo de Frenkel-Kontorova

El modelo de Frenkel-Kontorova debe destacarse por separado como el primer modelo en el que las ecuaciones de mapeo estándar se escribieron analíticamente. Este modelo se utiliza para describir la dinámica de dislocaciones, monocapas en superficies de cristal, ondas de densidad de carga y fricción seca. El modelo en el caso estacionario especifica la relación entre las posiciones de las partículas que interactúan (por ejemplo, los átomos) en el campo de un potencial espacialmente periódico. La función de Hamilton de una cadena unidimensional de átomos que interactúan con sus vecinos más cercanos a través de un potencial de interacción parabólica y ubicada en el campo de un potencial coseno que describe una superficie cristalina tiene la siguiente forma:

H=\sum_{n}\left({\frac {P_{n}^{2}}{2}}+{\frac {(x_{n+1}-x_{n})^ {2}}{2}}-K\cos x_{n}\right),\quad P_{n}={\dot {x}}_{n}.

Aquí está la desviación del átomo de su posición de equilibrio. En el caso estacionario ( ) esto conduce a la siguiente ecuación $x_{n}$ $P_{n}\equiv 0$

x_{n+1}-2x_{n}+x_{n-1}=K\sin x_{n},

que, por sustitución , puede reducirse a la notación habitual de la aplicación estándar. ${\displaystyle p_{n+1}=x_{n+1}-x_{n))$

Notas

↑ Chirikov BV Investigación sobre la teoría de la resonancia no lineal y la estocasticidad // Preprint N 267, Instituto de Física Nuclear, Novosibirsk (1969), (Engl. Trans., CERN Trans. 71-40 (1971)).
↑ Chirikov BV Una inestabilidad universal de los sistemas de osciladores multidimensionales // Phys. Reps. 52:263 (1979).
↑ Casati G., Chirikov BV, Izrailev FM, Ford J. Lecture Notes in Physics - Berlin: Springer, 93: 334 (1979).

Literatura

Visualización estándar de Chirikov en www.scholarpedia.org (inglés) .
Weisstein, Eric W. Mapa estándar (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Lichtenberg, AJ y Lieberman, M. A. Regular and Chaotic Dynamics (neopr.) . — Springer, Berlín, 1992. .
Ott, Eduardo. Caos en Sistemas Dinámicos (neopr.) . - Cambridge University Press Nueva York, 2002. .
Sprott, Julien Clinton. Caos y Análisis de Series Temporales . — Prensa de la Universidad de Oxford , 2003. .
Chirikov BV "Sistemas cuánticos dependientes del tiempo" en "Caos y mecánica cuántica" // Les Houches Lecture Series, vol. 52, págs. 443-545, eds. M.-J. Giannoni, A. Voros, J. Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Ámsterdam (1991).