Sumar función divisor

La función divisora sumatoria en la teoría de números es una función que es la suma de la función divisoria . La función se utiliza a menudo para investigar el comportamiento asintótico de la función zeta de Riemann . Varios estudios del comportamiento asintótico de la función divisoria a veces se denominan problemas de divisores .

Definición

La función divisora sumatoria se define como:

D(x)=\sum_{n\leq x}d(n)=\sum_{j,k \atop jk\leq x}1

dónde

d(n)=\sigma_{0}(n)=\sum_{j,k \atop jk=n}1

es la función divisoria . La función divisor cuenta el número de formas en que el número entero n se puede escribir como el producto de dos números enteros.

De manera más general, se puede definir como

D_{k}(x)=\sum_{n\leq x}d_{k}(n)=\sum_{mn\leq x}d_{k-1}(n)

donde d k ( n ) define el número de formas de representar el número n como un producto de k números. Este número se puede representar visualmente como el número de puntos de red delimitados por una superficie hiperbólica en k dimensiones. Entonces, para k =2, D ( x )= D 2 ( x ) representa el número de puntos de la red cuadrada delimitada por los ejes de coordenadas y la hipérbola jk = x . Esta figura se puede representar aproximadamente como un símplex hiperbólico , lo que nos permite obtener una forma alternativa de expresar D ( x ) y una forma más sencilla de calcular el tiempo : $O({\raíz cuadrada {x)))$

D(x)=\sum_{k=1}^{x}\lpiso {\frac {x}{k))\rpiso =2\sum_{k=1}^{u}\lpiso {\frac{x}{k}}\rpiso -u^{2}

, dónde

u=\lpiso {\sqrt {x}}\rpiso

Si en este contexto la hipérbola se reemplaza por un círculo, se tiene el problema de calcular una función similar, lo que se conoce como el problema del círculo de Gauss .

El problema del divisor de Dirichlet

Encontrar una expresión completa para esta suma parece imposible, pero se puede dar una aproximación que es fácil de encontrar. Dirichlet demostró que

D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\

donde es la constante de Euler-Mascheroni y la componente no asintótica es igual a $\gama$

\Delta (x)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {x}}\right).

La formulación precisa del problema del divisor de Dirichlet es encontrar el mínimo de todos los valores para los cuales $\ theta$

\Delta (x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta +\epsilon }\right)

se mantiene para cualquier . Para 2006, el problema seguía sin resolverse. ${\ estilo de visualización \ épsilon > 0}$

La sección F1 de problemas no resueltos en teoría de números [1] brinda una descripción general de lo que se sabe y lo que aún se desconoce sobre el problema del divisor de Dirichlet y el problema del círculo de Gauss.

En 1904, Voronoi demostró que la desviación estimada podía mejorarse a [2] . ${\mathcal {O}}(x^{1/3}\log x)$
En 1916 , Hardy demostró eso . En particular, demostró que para alguna constante , existen x tales que yx tales que [3] . ${\ estilo de visualización \ inf \ theta \ geq 1/4}$ $k$ ${\ estilo de visualización \ Delta (x)> Kx^{1/4))$ ${\ estilo de visualización \ Delta (x) <-Kx^{1/4))$
En 1922, Johannes van der Corput mejoró la estimación de Dirichlet a ${\ estilo de visualización \ inf \ theta \ leq 33/100.}$
En 1928, Johannes van der Corput demostró que ${\ estilo de visualización \ inf \ theta \ leq 27/82.}$
En 1950, Chih Tsung-tao e, independientemente, en 1953, HE Richert demostraron que ${\ estilo de visualización \ inf \ theta \ leq 15/46.}$
En 1969 Grigory Kolesnik demostró que ${\ estilo de visualización \ inf \ theta \ leq 12/37}$
En 1973 Grigory Kolesnik lo demostró . ${\ estilo de visualización \ inf \ theta \ leq 346/1067}$
En 1982 Grigory Kolesnik lo demostró . ${\ estilo de visualización \ inf \ theta \ leq 35/108}$
En 1988 G. Ivanets y CJ Mozzochi demostraron que [4] . ${\ estilo de visualización \ inf \ theta \ leq 7/22}$
En 2003, Martin Huxley mejoró la estimación al demostrar que [5] . ${\ estilo de visualización \ inf \ theta \ leq 131/416}$

Por lo tanto, el valor real se encuentra entre 1/4 y 131/416 (aproximadamente 0,3149). La hipótesis ampliamente aceptada es que el valor es exactamente 1/4. Los cálculos directos llevan a esta conjetura, ya que resulta ser una distribución casi normal con varianza 1 para x hasta 10 16 . ${\ estilo de visualización \ inf \ theta}$ ${\ estilo de visualización \ Delta (x)}$ ${\ estilo de visualización \ Delta (x)/x^{1/4))$

Problema generalizado del divisor

En el caso generalizado

D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)

donde es un polinomio de grado . $Paquete}$ $k-1$

Usando estimaciones simples, se puede demostrar que

\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)

para enteros . Como en el caso de , se desconoce el límite inferior. Si denotamos por el valor mínimo para el cual $k\geq 2$ $k=2$ $\theta_k$

\Delta_{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta_{k}+\varepsilon}\right)

para cualquier , entonces se conocen los siguientes resultados: $\varepsilon >0$

Voronoi y Landau: para $\theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+1))$ $k=2,3,\ldots$
Hardy y Littlewood: para $\theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+2))$ $k=4,5,\ldots$
Hardy demostró que $\theta _{k}\geq {\frac {k-1}{2k))$ $k=2,3,\ldots$
Titchmarsh sugirió eso . $\theta_{k}={\frac {k-1}{2k))$

Transformación de Mellin

Ambos términos se pueden expresar en términos de la transformada de Mellin :

D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac { x^{w}}{w}}\,dw

para _ Aquí están las funciones zeta de Riemann . ${\ estilo de visualización c> 1}$ $\zeta (s)$

Del mismo modo

\Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty } \zeta^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

con _ El término asintótico se obtiene desplazando el contorno más allá del doble punto singular : el término asintótico es simplemente un residuo (según la fórmula integral de Cauchy ). $0<c^{\prime }<1$ $D(x)$ $w=1$

En general

D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i))\int_{ci\infty}^{c+i\infty}\zeta ^{k}(w){ \frac{x^{w}}{w}}\,dw

y lo mismo para , para . ${\ estilo de visualización \ Delta _ {k} (x)}$ $k\geq 2$

Notas

↑ Richard K. Guy. Problemas no resueltos en teoría de números. — 3er. - Berlín: Springer, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ Ivic Aleksandar. La función Zeta de Riemann. - Nueva York: Publicaciones de Dover, 2003. - ISBN 0-486-42813-3 .
↑ Montgomery Hugh, R. C. Vaughan . Teoría de Números Multiplicativos I: Teoría Clásica. - Cambridge: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-84903-6 .
↑ Henryk Iwaniec, CJ Mozzochi . Sobre los problemas del divisor y del círculo // Journal of Number Theory. - 1988. - Edición. 29 . - S. 60-93 . - doi : 10.1016/0022-314X(88)90093-5 .
↑ Martín Huxley. Sumas exponenciales y puntos de red III // Proc. Matemáticas de Londres. Soc.. - 2003. - T. 87 , N º 3 . - S. 591-609 . -doi : 10.1112/ S0024611503014485 .

Literatura

Harold Edwards . Función Zeta de Riemann'. - Publicaciones de Dover, 1974. - ISBN 0-486-41740-9 .
CE Titchmarsh. capítulo 12 para una discusión del problema del divisor generalizado // La teoría de la función Zeta de Riemann. — Oxford: Oxford en Clarendon Press, 1951.
Apostol, Tom M. Introducción a la teoría analítica de números, Textos de pregrado en Matemáticas. - Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - ISBN 978-0-387-90163-3 . . Da una introducción al problema del divisor de Dirichlet.
Se levantó. Un curso de teoría de números . —Oxford, 1988.
Martín Huxley . Sumas exponenciales y puntos de celosía III // Proc. Matemáticas de Londres. soc. - 2003. - T. 87 , N º 3 . - S. 591-609 .