Problema del círculo de Gauss

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El problema del círculo gaussiano es el problema de determinar el número de puntos de una red de enteros que caen en un círculo de radio r centrado en el origen. El primer éxito en resolver este problema lo hizo Gauss , y el problema lleva su nombre.

Problema

En un círculo en con un radio centrado en el origen , es necesario determinar el número de puntos dentro del círculo que tienen la forma ( m , n ), donde m y n son números enteros. Dado que en coordenadas cartesianas la ecuación de una circunferencia viene dada por la fórmula: x 2 + y 2 = r 2 , la formulación equivalente del problema será la pregunta: ¿cuántos pares de enteros m y n satisfacen la desigualdad $\matemáticas {R} ^{2}$ $r\geqslant 0$

m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.

Si, para un r dado , denotamos el valor deseado por N ( r ), entonces la siguiente lista da los valores de N ( r ) para valores de un radio entero r entre 0 y 10:

1, 5 , 13 , 29 , 49, 81 , 113 , 149 , 197 , 253, 317 ( secuencia OEIS A000328 ).

Límites de valores e hipótesis

Dado que el área de un círculo de radio r está dada por π r 2 , uno esperaría que el número de puntos estuviera alrededor de π r 2 . De hecho, el valor es ligeramente mayor que este valor por alguna corrección E ( r )

N(r)=\pi r^{2}+E(r)

La búsqueda del límite superior de esta corrección es la esencia del problema.

Gauss demostró [1] que

E(r)\leqslant 2{\sqrt {2}}\pi r.

Hardy [2] e, independientemente, Edmund Landau encontraron un valor límite más pequeño al demostrar que

E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),

en notación o-pequeña . Hay una hipótesis [3] de que el valor verdadero es

E(r)=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).

Si reescribimos la última expresión como , entonces los límites actuales del número t son ${\displaystyle \|E(r)\|\leqslant Cr^{t))$

{\frac {1}{2}}<t\leqslant {\frac {131}{208}}=0{,}6298\ldots,

donde el límite inferior fue obtenido por Hardy y Landau en 1915, y el límite superior fue probado por Martin Huxley en 2000 [4] .

En 2007, Sylvain Cappell y Julius Shaneson contribuyeron con un artículo a arXiv que contenía una prueba del límite [5] . $O(r^{{\frac {1}{2}}+\epsilon})$

Representación precisa

El valor de N ( r ) se puede representar como la suma de algunas secuencias. Si utiliza la función de redondeo hacia abajo , el valor se puede expresar como [6]

N(r)=1+4\sum_{i=0}^{\infty}\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\ rpiso -\izquierda\lpiso {\frac {r^{2}}{4i+3}}\derecha\rpiso \derecha).

La representación usando la función r 2 ( n ), que se define como el número de formas de representar el número n como la suma de dos cuadrados, parece mucho más simple. En este caso [1]

N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).

Generalizaciones

Aunque la formulación inicial del problema hablaba de redes enteras en un círculo, no hay razón para detenerse solo en el círculo. Puede configurar la tarea de encontrar el número de puntos de celosía en otras figuras o conos . El "problema del divisor" de Dirichlet es equivalente a este problema cuando el círculo se reemplaza por una hipérbola [3] . También puede extender el problema a dimensiones más altas y hablar sobre la cantidad de puntos dentro de una esfera n-dimensional u otro objeto. Se puede abandonar la representación geométrica del problema y pasar a las desigualdades diofánticas.

El problema del círculo para números primos relativamente

Otra generalización puede ser el cálculo del número de soluciones enteras coprimas m y n de la ecuación

m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.

Este problema se conoce como el problema del círculo para números coprimos o el problema del círculo para números primitivos [7] Si denotamos el número de tales soluciones por V ( r ), entonces V ( r ) para valores enteros pequeños de radio r son

0, 4 , 8 , 16 , 32 , 48 , 72 , 88 , 120 , 152, 192, ... secuencia A175341 en OEIS .

Usando las mismas ideas que para el problema gaussiano habitual, y por el hecho de que la probabilidad de que dos números sean coprimos es 6/ π 2 , es relativamente fácil demostrar que

V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).

Como en la configuración habitual, el problema para los números primos relativos es disminuir el exponente en la corrección. En la actualidad, el exponente más conocido es , si aceptamos la hipótesis de Riemann [7] . Sin aceptar la hipótesis de Riemann, el mejor límite superior es ${\tfrac {221}{304}}+\épsilon$

V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r ^{2})^{-1/5}))

para alguna constante positiva c [7] .

En particular, los límites de la corrección de forma para any son desconocidos , a menos que se acepte la hipótesis de Riemann. ${\ estilo de visualización 1-\ épsilon}$ $\epsilon > 0$

Véase también

geometría de los números

Notas

↑ 12 G. H. _ Hardy, Ramanujan: Doce conferencias sobre temas sugeridos por su vida y obra, 3ª ed. Nueva York: Chelsea, (1999), p.67.
↑ G.H. Hardy, Sobre la expresión de un número como la suma de dos cuadrados , Quart. Matemáticas J. 46 , (1915), págs. 263-283.
↑ 12 R. K. _ Guy, Problemas sin resolver en teoría de números, Tercera edición , Springer, (2004), pp.365-366.
↑ MN Huxley, Puntos enteros, sumas exponenciales y la función zeta de Riemann , Teoría de números para el milenio, II (Urbana, IL, 2000) págs. 275–290, AK Peters, Natick, MA, 2002, MR : 1956254 .
↑ S. Cappell y J. Shaneson, Algunos problemas de la teoría de números I: El problema del círculo , arXiv : math/0702613 , (2007).
↑ D. Hilbert y S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination , Nueva York: Chelsea, (1999), págs. 37-38.
↑ 1 2 3 J. Wu, Sobre el problema del círculo primitivo , Monatsh. Matemáticas. 135 (2002), págs. 69-81.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Gauss's Circle Problem (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .