Sumas Kloosterman

Sumas de Kloosterman : el tema de estudio de la teoría analítica de números , sumas trigonométricas sobre elementos del anillo de residuos , recíproco en módulo a los elementos de algún conjunto con una estructura natural (generalmente un intervalo o números primos de un intervalo).

Las primeras estimaciones de sumas fueron obtenidas por Kloosterman en 1926 en relación con el estudio del número de representaciones de números en la forma . [una] $hacha^{2}+por^{2}+cz^{2}+dt^{2}$

Definición

Sea un entero arbitrario y se introduzca la notación para el coprimo con . Entonces, la suma total de Kloosterman es una suma de la forma ${\ estilo de visualización q \ geq 3}$ ${\displaystyle n\in {\mathbb {F} }_{q))$ $q$ $n{\overline {n}}\equiv 1{\pmod {q}}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {F} }_{q))$

S(q;a,b):=\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq q-1}{(n,q)=1}}{e_{q}\left( {a{\overline {n}}+bn}\right)}\ .

Una suma incompleta se llama suma sobre un cierto intervalo . [2] ${\displaystyle \sum \limits _{n=M+1}^{M+N}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)))$

A veces sumas sobre primos [3] , sumas multilineales que involucran elementos inversos [4] y otras sumas de la forma , donde . ${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)))$ ${\displaystyle A\subconjunto {\mathbb {F} }_{q))$

Por supuesto , las sumas de Kloosterman generalmente se estiman de forma arbitraria , incluido . $q$ ${\displaystyle a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q))$ ${\displaystyle S(q)=\max \limits _{a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}{S(q;a,b)))$

Propiedades

En , las sumas totales de Kloosterman degeneran en una suma de Ramanujan . $un=0$

Si , entonces , la cuestión de la estimación se reduce al caso . ${\ estilo de visualización (q_{1},q_{2})=1}$ $S(q)=S(q_{1})S(q_{2})$ ${\ estilo de visualización S (q)}$ $q=p^{n}$

Calificaciones

${\ estilo de visualización | S (q) | \ leq \ tau (q) {\ sqrt {q))}$ , donde es el número de divisores . De esto se deduce que para cualquier . [5] ${\ estilo de visualización \ tau (q)}$ $\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq x}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn} \right)}\leq \tau (q){\sqrt {q}}(\log q+1)$ ${\ estilo de visualización x <q}$

Para sumas del último tipo para , también se conocen otras estimaciones que no son triviales para . [6] ${\ estilo de visualización q = p, \ b = 0}$ $x\geq \exp \left({\Omega ((\log p)^{2/3}(\log \log p)^{2})}\right)$

Notas

↑ Kloostermann, 1926 .
↑ Korolev (1), 2016 , pág. 80.
↑ Panadero, 2012 .
↑ Burgain, Garaev, 2014 .
↑ Korolev (1), 2016 , fórmula (1) y teorema 3
↑ Burgain, Garaev, 2014 , teorema 16; ver también una revisión de resultados similares en Korolev (2), 2016 , p. 838–839

Literatura

HD Kloosterman. Sobre la representación de números en la forma $hacha^{2}+por^{2}+cz^{2}+dt^{2}$ (inglés) // Acta Math .. - 1926. - Vol. 49 , edición. 1 . — pág. 407–464 .

M. A. Korolev. Métodos para estimar sumas cortas de la colección Kloosterman // Chebyshevsky. - 2016. - T. 17 , núm. 4 . — págs. 79–109 . (Ruso)

M. A. Korolev. En sumas cortas de Kloosterman módulo a primo // Notas matemáticas . - 2016. - T. 100 , núm. 6 _ — S. 838–846 . (Ruso)

J. Bourgain, M. Z. Garaev. La suma de conjuntos formados por elementos inversos en campos de primer orden y sumas multilineales de Kloosterman // Izvestiya RAN. - 2014. - T. 78 , núm. 4 . — P. 19–72 . -arXiv : 1211.4184 . _ (Ruso)

R. C. Baker. Sumas de Kloosterman con variable prima (inglés) // Acta Arithmetica. - 2012. - vol. 156 . — págs. 351–372 .