Elemento inverso
El elemento inverso es un término en álgebra general que generaliza los conceptos del número recíproco (para la multiplicación) y el número opuesto (para la suma).
Definiciones
Sea un conjunto sobre el que se define una operación binaria , denotada por un punto ( ), con un elemento neutro . Sea un par de elementos arbitrarios del conjunto . Si la igualdad es verdadera, entonces se llama inversa por la derecha (o inversa por la derecha ) a .
De manera similar, si se mantiene la igualdad, entonces se llama inversa izquierda (inversa desde la izquierda) a
Un elemento que es el inverso tanto de la derecha como de la izquierda, es decir, uno que simplemente se llama el inverso de y se denota por . Se dice que un elemento para el cual existe un elemento inverso es invertible .
Notas
- La definición anterior se da en notación multiplicativa. Si se usa la notación aditiva , entonces el elemento inverso se llama el elemento opuesto y se denota .
- En términos generales, el mismo elemento puede tener múltiples inversos a la izquierda y múltiples inversos a la derecha, y la izquierda no tiene que coincidir con la derecha.
Propiedades
Sea la operación asociativa . Entonces, si un elemento tiene elementos inversos a la izquierda y a la derecha, entonces son iguales y únicos.
Corolario : en un monoide , cada elemento tiene como máximo un inverso. Todos los elementos invertibles de un monoide forman un grupo ; este grupo no está vacío ya que contiene al menos un elemento neutro.
Ejemplos
| Un montón de | operación binaria | elemento inverso |
|---|---|---|
| Numeros reales | ( adición ) | ( número opuesto ) |
| Los números reales no son iguales a cero | ( multiplicar ) | ( recíproco ) |
| Ver funciones | ( composición de funciones ) | ( función inversa ) |
