Esfera de Lorenz

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La esfera de Lorentz es un método para calcular el campo local en la teoría microscópica de los dieléctricos. Le permite encontrar la constante dieléctrica del material, si se conoce la polarizabilidad dipolar de las partículas del material. Ganó gran popularidad después de la publicación del trabajo clásico de Hendrik Anton Lorentz "La teoría de los electrones y su aplicación a los fenómenos de la luz y la radiación térmica".

Descripción del método

Se supone que el dieléctrico consiste en un gran número de partículas dipolares polarizadas independientemente . Cada partícula responde al campo eléctrico local que actúa sobre ella , que es la suma de un campo eléctrico dado aplicado a la muestra dieléctrica y un campo adicional (campo de interacción) debido a la polarización de las partículas: $\mathbf {E} ^{\rm {loc}}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {E} ^{\rm {int}}$

\mathbf {E} ^{\rm {loc}}=\mathbf {E} +\mathbf {E} ^{\rm {int}}.

Para calcular el campo de interacción, Lorentz propuso el siguiente método. Rodeemos la partícula de muestra, para la cual estamos buscando un campo local, con una esfera imaginaria de algún radio (ver Fig.). El radio de la esfera debe ser lo suficientemente grande para que una cantidad significativa de partículas dieléctricas entren en la esfera. Por otro lado, este radio debe ser lo suficientemente pequeño para que el campo eléctrico aplicado varíe de manera insignificante dentro de la esfera elegida. La primera condición hace posible no considerar separadamente las partículas fuera de la esfera y reemplazar la distribución discreta de momentos dipolares en esta región con una distribución continua promediada. La segunda condición nos permite suponer que las partículas atrapadas dentro de la esfera están igualmente polarizadas, es decir, que sus momentos dipolares eléctricos son iguales. $\mathbf {E} ^{\rm {int}}$

Lorentz demostró que los campos de partículas dipolares individuales que entraron en la esfera se anulan entre sí en total (en el centro de la esfera). Como resultado, el campo de interacción está determinado por la polarización de la muestra cerca del límite de la esfera de Lorentz. Dadas las condiciones mencionadas anteriormente, este campo se puede expresar (ver más abajo) en términos del vector de polarización eléctrica ( en unidades SI ): ${\ matemáticas {P}}$

\mathbf {E} ^{\rm {int}}={\frac {\mathbf {P} }{3\varepsilon _{0}}}.

Así, para un campo local en un dieléctrico, Lorentz obtuvo la expresión

\mathbf {E} ^{\rm {loc}}=\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {P} }{3\varepsilon _{0}}}.

Cálculo del campo de interacción

Encontremos el campo adicional creado por la polarización fuera de la esfera de Lorentz. Bajo las condiciones anteriores, tal problema es equivalente a encontrar el campo eléctrico en el centro de una cavidad esférica recortada en una muestra dieléctrica uniformemente polarizada.

Cortar la cavidad conduce al hecho de que aparecen cargas eléctricas ligadas en el límite de la cavidad . Situamos el origen de coordenadas en el centro de la cavidad. Entonces, en un sistema de coordenadas esféricas, la densidad superficial de las cargas ligadas se expresa como

\sigma (\vartheta)=-P\cos \vartheta,

donde es el valor absoluto del vector de polarización , y es el ángulo entre la dirección positiva del vector y el vector de radio hasta el punto actual en el límite de la cavidad esférica. Como no depende de , el vector del campo eléctrico buscado está codirigido con y su módulo es igual a (la proyección en la dirección de polarización de la intensidad de campo de una carga puntual ) ${\ estilo de visualización \ P}$ ${\ matemáticas {P}}$ ${\ estilo de visualización \ \ vartheta}$ ${\ matemáticas {P}}$ $\ \sigma$ $\ \varfi$ ${\ matemáticas {P}}$

E^{\rm {int}}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint {\frac {\sigma \cos \vartheta}{r^{2 }}}\,dS,

donde es el radio de la esfera, y la integral se toma sobre la superficie de la cavidad. Teniendo en cuenta que en el sistema de coordenadas esféricas se obtiene $r$ $dS=r^{2}\sin \vartheta\,d\vartheta\,d\varphi$

E^{\rm {int}}={\frac {P}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }\cos ^{2}\vartheta \sin \vartheta \,d\vartheta ={\frac {P}{3\varepsilon _{0}}}.

Véase también

Literatura

Lorentz GA Teoría de los electrones y su aplicación a los fenómenos de radiación luminosa y térmica. M.: GTTI, 1953.