Esquema de elevación

El esquema de elevación es una técnica tanto para el diseño de ondículas como para las transformadas de ondículas discretas . Lo que realmente se requiere es combinar estos pasos y diseñar las ondículas en paralelo con la transformada de ondículas. Esto se llama transformada wavelet de segunda generación . Esta tecnología fue propuesta por primera vez por Wim Sweldens . En la transformada wavelet discreta, se aplican varios filtros a una señal. En el circuito de elevación, la señal se divide como una cremallera. Después de eso, se realiza una serie de operaciones de convolución apiladas en la señal .

Idea general

Que haya una señal . Se puede dividir en señales y algún filtro con diezmado de muestras dos veces. En el caso general, las señales y están en gran medida correlacionadas entre sí, por lo que no tiene sentido transmitir ambas señales, puede transmitir una de las señales ( ) y la predicción de la segunda señal se realiza sobre la base de ello mediante un filtro . Por lo tanto, la correlación espacial se elimina hasta cierto punto. Sin embargo, existen problemas en el dominio de la frecuencia, ya que la señal se obtiene por simple diezmado de muestras. El promedio actual de las señales y no coincide. Para eliminar esto, se introduce un segundo filtro que actualiza la señal en función de ( ). $F$ ${\ estilo de visualización L1}$ ${\ estilo de visualización Y1}$ $s$ ${\ estilo de visualización L1}$ ${\ estilo de visualización Y1}$ ${\ estilo de visualización L1}$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización Y2 = Y1-P (L1)}$ ${\ estilo de visualización L1}$ ${\ estilo de visualización L1}$ $F$ $tu$ ${\ estilo de visualización L1}$ ${\ estilo de visualización Y2}$ ${\ estilo de visualización L2 = L1 + U (Y2)}$

Ejemplo

Tomemos una señal de elementos . Como filtro, tomamos una división simple en muestras pares e impares: $F$ $x_{yo}$

${\ estilo de visualización L1_ {i} = x_ {2i}}$ ;

$Y1_{i}=x_{2i+1}$ .

La predicción de la señal puede ser, por ejemplo, el promedio estadístico de elementos vecinos ${\ estilo de visualización Y1}$ ${\ estilo de visualización L1}$

$P(i)={(L1_{i}+L1_{i+1}) \sobre 2}$ ;

$Y2_{i}=Y1_{i}-{(L1_{i}+L1_{i+1}) \sobre 2}$ .

Para refinar la señal , agregue la mitad del promedio de los valores anterior y siguiente . En este caso, será más consistente con la señal que . ${\ estilo de visualización L1}$ ${\ estilo de visualización Y2}$ $L2$ $F$ ${\ estilo de visualización L1}$

$U(i)={(Y2_{i-1}+Y2_{i}) \sobre 4}$ .

Respectivamente,

$L2_{i}=L1_{i}+{(Y2_{i-1}+Y2_{i}) \sobre 4}$ .

Sabiendo tanto de y , es posible restaurar . $L2$ ${\ estilo de visualización Y2}$ $tu$ $PAGS$ $S^{{-1}}$ $F$

Fundamentos

La idea principal de la elevación es la siguiente: si un par de filtros son adicionales , entonces para cualquier filtro , el par , donde también brinda la posibilidad de una recuperación completa de la señal. Naturalmente, esto también es cierto para cada par , donde . La declaración inversa también es cierta: si el filtro se establece y le permite restaurar completamente la señal, entonces existe un filtro único para el cual . Cada una de estas transformaciones del banco de filtros (u operación de transformación wavelet correspondiente) se denomina paso de elevación. La secuencia de pasos de elevación consta de elevaciones alternas, es decir, después de arreglar el filtro de paso bajo y cambiar el filtro de paso alto, el siguiente paso arregla el filtro de paso alto y cambia el filtro de paso bajo. Se pueden combinar pasos sucesivos en la misma dirección. ${\ estilo de visualización (h, g)}$ $s$ ${\ estilo de visualización (h', g)}$ $h'(z)=h(z)+s(z^{2})\cdot g(z)$ ${\ estilo de visualización (h, g')}$ $g'(z)=g(z)+t(z^{2})\cdot h(z)$ ${\ estilo de visualización (h, g)}$ ${\ estilo de visualización (h', g)}$ $s$ $h'(z)=h(z)+s(z^{2})\cdot g(z)$

Propiedades

Recuperación sin pérdidas.
- Cada transformación del esquema de elevación se puede invertir.
- Cada conjunto de filtros totalmente reconstructivos se puede dividir en pasos de elevación utilizando el algoritmo euclidiano .
- Esto significa que "banco de filtros de elevación divisible" y "banco de filtros de elevación totalmente reversible" son lo mismo.
Dos bancos de filtros totalmente reconstructivos cualesquiera pueden transformarse de uno a otro mediante un conjunto de pasos de elevación (si y son matrices polifásicas con el mismo discriminante, entonces la secuencia de elevación de a es la misma que de una matriz polifásica "perezosa" a . ) $PAGS$ $q$ $PAGS$ $q$ $yo$ $P^{-1}\cdot Q$
Acelera dos veces. Esto es posible solo porque el levantamiento solo se puede hacer con juegos de filtros completamente restauradores. Es decir, se puede decir que el levantamiento selecciona la redundancia provocada por la posibilidad de recuperación completa.
En sitio: La conversión se puede realizar inmediatamente en la memoria de datos de entrada, utilizando solo esta y la memoria de solo lectura.
No linealidad: Las operaciones de convolución pueden ser sustituidas por cualquier otra. Para una recuperación completa, solo es necesario que las operaciones sean reversibles. De esta forma, los errores de redondeo se pueden representar en convolución, lo que hace posible la recuperación con precisión de bits. A pesar de esto, las no linealidades pueden conducir a una disminución de la estabilidad numérica. Esto debe tenerse en cuenta si la señal convertida se procesa como en una compresión con pérdida.

Aunque cada banco de filtros reconstruido se puede representar mediante un conjunto de pasos de elevación, la descripción general de los pasos de elevación no es obvia a partir de la descripción de la familia de ondículas. Sin embargo, por ejemplo, para casos simples de la wavelet de Cohen-Daubechi-Fovo , existe una fórmula exacta para los pasos de elevación. (ver artículo relacionado)

Levantamiento generalizado

El Esquema de Lifting Generalizado es un derivado del Esquema de Lifting. En este esquema, las operaciones de suma y resta se convierten en pasos de actualización y predicción, respectivamente. Estos pasos pueden ser cualquier mapeo (reversible), lo que hace que el circuito sea más general.

Aplicación

Transformada wavelet con enteros: WAILI
Transformada de Fourier exacta bit a bit: Soontorn Oraintara, Ying-Jui Chen, Truong Q. Nguyen: Transformada rápida de Fourier entera
Diseño de wavelets con un grado de filtro y un número de momentos de fuga dados
Diseño de ondículas para un modelo dado: Henning Thielemann: ondículas adaptadas de forma óptima
Aplicando la Transformada Wavelet Discreta a JPEG2000

Véase también

El esquema de Feistel en criptología utiliza la misma idea de compartir información y alternar la aplicación de funciones con la suma. Esto se utiliza para cocodificación y decodificación simétrica en los esquemas Feistel y Lifting.

Enlaces externos

Una introducción completa a la Transformada Wavelet de Elevación Rápida
Ingrid Daubechies, Wim Sweldens: Factorización Wavelet se transforma en pasos de elevación
Pasos de transformación de ondícula de elevación: [1]
El esquema de elevación: una construcción de wavelets de segunda generación