Convergencia en casi todas partes
Una sucesión de funciones converge casi en todas partes a una función límite si el conjunto de puntos para los que no hay convergencia tiene medida cero [1] .
Definición
Sea un espacio con medida , y . Dicen que converge en casi todas partes, y escriben - a.e. si [1]



.
Terminología de probabilidad
Si existe un espacio de probabilidad , y son variables aleatorias tales que



,
entonces decimos que la sucesión converge casi con seguridad a [2] .

Propiedades de convergencia a.e.
- La convergencia puntual obviamente implica convergencia en casi todas partes.
- Dejar , donde , y converger en casi todas partes a . Sea también una función tal que para todos y casi todos ( mayorante sumable ). Entonces , y en . Sin una suposición a priori sobre la existencia de una mayorante integrable, la convergencia en casi todas partes (e incluso en todas partes) no implica convergencia en . Por ejemplo, una secuencia de funciones converge a 0 casi en todas partes pero no converge en .












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- La convergencia casi en todas partes implica convergencia en la medida si la medida es finita. Para espacios con medida infinita esto no es cierto [3] .
Véase también
Notas
- ↑ 1 2 Dyachenko, Ulyanov, 1998 , p. 55 §13. convergencia en casi todas partes.
- ↑ Enciclopedia Matemática, 1985 , p. 313 La convergencia es casi segura.
- ↑ Dyachenko, Ulyanov, 1998 , p. 57 Teorema 13.2 (ejemplo de Riesz).
Literatura
- Dyachenko M. I., Ulyanov P. L. Medida e integral . - M. : "Factorial", 1998.
- Enciclopedia Matemática / I.M. Vinogradov. - 1985. - V. 5 (Variable aleatoria - Celda).