Ecuaciones de telégrafo

Ecuaciones telegráficas : un par de ecuaciones diferenciales lineales que describen la distribución de voltaje y corriente a lo largo del tiempo y la distancia en las líneas de comunicación eléctrica. Las ecuaciones fueron elaboradas por Oliver Heaviside , quien desarrolló el modelo de línea de comunicación eléctrica en la década de 1880 .

La teoría de Heaviside es aplicable a las líneas de transmisión de corriente eléctrica de todas las frecuencias, incluidas las líneas telegráficas, telefónicas y de mayor frecuencia, así como las líneas eléctricas y las líneas de transmisión de corriente continua.

Parámetros distribuidos

Las ecuaciones telegráficas, como todas las demás ecuaciones que describen fenómenos eléctricos, pueden reducirse a un caso especial de las ecuaciones de Maxwell . Desde un punto de vista práctico, se supone que los conductores consisten en una cadena infinita de cuatro polos, cada uno de los cuales es una sección infinitamente corta de la línea con los siguientes parámetros:

La resistencia del conductor se representa como una resistencia en serie (expresada en ohmios por unidad de longitud). $R$
La inductancia , que tiene en cuenta los efectos de la autoinducción y la inducción mutua a partir de la presencia de un campo magnético alrededor de los conductores que transportan corriente, se representa como un inductor longitudinal ( henry por unidad de longitud). $L$
La capacitancia entre dos conductores se representa como un capacitor transversal ( faradio por unidad de longitud). $C$
La conductividad de un material dieléctrico (aislamiento) que separa dos conductores se representa como una resistencia transversal ( Siemens por unidad de longitud). En el modelo, esta resistencia tiene una resistencia de ohmios. $GRAMO$ ${\ estilo de visualización 1/G}$

Los parámetros y mostrados en la figura se refieren a un conductor, pero en realidad representan el valor total correspondiente relacionado con ambos conductores. Los parámetros , , , distribuidos en una cadena infinita de cuadripolos se denominan parámetros primarios de la línea . También puedes usar la notación , , , para enfatizar que los valores son derivados con respecto a la coordenada. $R$ $L$ $R$ $L$ $C$ $GRAMO$ $R'$ $L'$ $C'$ $GRAMO'$

Ecuaciones

Línea sin pérdidas

Cuando los elementos y son pequeños, su valor puede despreciarse, mientras que la línea de comunicación eléctrica se considera ideal. En este caso, el modelo depende solo de los elementos y , obtenemos un par de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, una función describe la distribución de voltaje a lo largo de la línea y la otra describe la distribución de corriente , ambas funciones dependen de la coordenada y hora [1] [2] [3 ] [4] [5] [6] [7] : $R$ $GRAMO$ $L$ $C$ $tu$ $yo$ $X$ $t$

{\frac {\parcial }{\parcial x}}U(x,t)=-L{\frac {\parcial }{\parcial t}}I(x,t)

{\frac {\parcial }{\parcial x}}I(x,t)=-C{\frac {\parcial }{\parcial t}}U(x,t).

Estas ecuaciones se pueden combinar para dar dos ecuaciones de onda separadas:

{\frac {\parcial ^{2}}{{\parcial t}^{2}}}U={\frac {1}{LC}}{\frac {\parcial ^{2}}{ {\ x parcial}^{2))}U,

{\frac {\parcial ^{2}}{{\parcial t}^{2}}}I={\frac {1}{LC}}{\frac {\parcial ^{2}}{ {\ x parcial}^{2))}I.

En el caso armónico (asumiendo que la onda es sinusoidal) , las ecuaciones se simplifican a ${\displaystyle E=E_{0}\cdot e^{-j\omega ({\frac {x}{c}}-t)))$

{\frac {\parcial ^{2}U(x)}{\parcial x^{2))}+\omega ^{2}LC\cdot U(x)=0,

{\frac {\parcial ^{2}I(x)}{\parcial x^{2))}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0,

donde es la frecuencia de la onda estacionaria. $\omega$

Si la línea es infinitamente larga o termina en una impedancia compleja característica, las ecuaciones muestran la presencia de una onda que se propaga a una velocidad . $v=1/{\sqrt {LC}}$

Esta velocidad de propagación es aplicable a los fenómenos ondulatorios y no tiene en cuenta la velocidad de deriva de los electrones . En otras palabras, el impulso eléctrico se propaga a una velocidad muy cercana a la de la luz, a pesar de que los propios electrones se desplazan a unos pocos centímetros por segundo. Se puede demostrar que esta velocidad en una línea coaxial formada por conductores ideales separados por vacío es igual a la velocidad de la luz [8] [9] .

Línea con pérdidas

Cuando los elementos y no pueden despreciarse, las ecuaciones diferenciales originales que describen la sección elemental toman la forma: $R$ $GRAMO$

{\frac {\parcial }{\parcial x}}U(x,t)=-L{\frac {\parcial }{\parcial t}}I(x,t)-RI(x,t ),

{\frac {\parcial }{\parcial x}}I(x,t)=-C{\frac {\parcial }{\parcial t}}U(x,t)-GU(x,t ).

Derivando la primera ecuación con respecto a y la segunda con respecto a , después de realizar algunas transformaciones algebraicas, obtenemos un par de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas, cada una de las cuales contiene una incógnita: $X$ $t$

{\frac {\parcial ^{2}}({\parcial x}^{2}}}U=LC{\frac {\parcial ^{2}}{{\parcial t}^{2} }}U+(RC+GL){\frac {\parcial }{\parcial t}}U+GRU,

{\frac {\parcial ^{2}}({\parcial x}^{2}}}I=LC{\frac {\parcial ^{2}}{{\parcial t}^{2} }}I+(RC+GL){\frac {\parcial }{\parcial t}}I+GRI.

Si la pérdida de línea es pequeña (pequeña y ), la señal decaerá al aumentar la distancia como , donde . $R$ ${\ estilo de visualización G = 0}$ ${\displaystyle e^{-\alpha x))$ ${\ estilo de visualización \ alfa = R/(2Z_{0})}$

Estas ecuaciones son similares a la ecuación de onda homogénea con condiciones adicionales sobre y y sus primeras derivadas. Condiciones adicionales hacen que la señal decaiga y se disperse con el tiempo y la distancia. $tu$ $yo$

Dirección de propagación de la señal

Las ecuaciones de onda descritas anteriormente tienen en cuenta que la propagación de la onda puede ser hacia adelante y hacia atrás. Dada la simplificación de la línea sin pérdidas (suponiendo y ), la solución se puede representar como $R=0$ ${\ estilo de visualización G = 0}$

U(x,t)=f_{1}(\omega t-kx)+f_{2}(\omega t+kx),

dónde:

k=\omega {\sqrt {LC}}=\omega /v,

k

llamado número de onda y se mide en radianes por metro,

\omega

es la frecuencia angular (en radianes por segundo),

f_1

y puede ser cualquier función, y

f_{2}

v=1/{\sqrt {LC}}

es la velocidad de propagación de la onda (o velocidad de fase ).

$f_1$ representa una onda que viaja en la dirección del eje positivo (de izquierda a derecha), representa una onda que viaja de derecha a izquierda. Se puede observar que el valor instantáneo de la tensión en cualquier punto de la línea es la suma de los esfuerzos provocados por ambas ondas. $X$ $f_{2}$ $X$

Dado que la relación entre corriente y voltaje se describe mediante ecuaciones telegráficas, podemos escribir: $yo$ $tu$

I(x,t)={\frac {f_{1}(\omega t-kx)}{Z_{0))}-{\frac {f_{2}(\omega t+kx)} {Z_{0}}},

donde es la impedancia de onda de la línea de transmisión, que para una línea sin pérdidas se puede encontrar como $Z_0$

Z_{0}={\sqrt {\frac{L}{C))}.

Resolviendo ecuaciones telegráficas

La solución de las ecuaciones del telégrafo está, por ejemplo, en la pág. 348 en el ejemplo 80 (más la solución del ejemplo 79 en las págs. 347-348) en el libro [10] .

Véase también

Notas

↑ John D. Kraus. Electromagnetismo ._ _ - Tercero. - Nueva York, NY: McGraw-Hill Education , 1984. - P. 380-419. — ISBN 0070354235 .
↑ William H. Hayt. Ingeniería Electromagnética . — Quinto. - Nueva York, NY: McGraw-Hill Education , 1989. - P. 382-392. — ISBN 0070274061 .
↑ Stanley V. Marshall. Conceptos electromagnéticos y aplicaciones . - Segundo. - Nueva York, NY: Prentice-Hall , 1987. - P. 359-378. — ISBN 0132490048 .
↑ Mateo NO Sadiku. Elementos de Electromagnetismo . - Primero. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing, 1989. - Págs. 497-505. — ISBN 993013846. Archivado el 6 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
↑ Rodger F. Harrington. Campos electromagnéticos armónicos en el tiempo . - Primero. - Nueva York, NY: McGraw-Hill Education , 1961. - P. 61-65. — ISBN 0070267456 .
↑ John J. Karakash. Líneas de Transmisión y Redes de Filtración . - Primero. - Nueva York, NY: Macmillan, 1950. - P. 5-14.
↑ Georges Metzger. Líneas de transmisión con excitación por pulsos . - Primero. - Nueva York, NY: Academic Press , 1969. - P. 1-10.
↑ Mateo NO Sadiku. Elementos de Electromagnetismo . - Primero. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing, 1989. - P. 501-503. — ISBN 993013846. Archivado el 6 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
↑ Stanley V. Marshall. Conceptos electromagnéticos y aplicaciones . - Segundo. - Nueva York, NY: Prentice-Hall , 1987. - P. 369-372. — ISBN 0132490048 .
↑ Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes de universidades técnicas Copia archivada el 23 de marzo de 2017 en Wayback Machine , 13.ª edición. M .: Nauka, 1986.