Tensor Darboux

Los componentes del tensor de Darboux de una superficie bidimensional F 2 con curvatura gaussiana K distinta de cero en el espacio euclidiano E 3 se calculan mediante las fórmulas: $\Theta$

\Theta_{ijm}=\nabla_{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla_{m}K+b_{mi}\nabla_{j}K+b_ {jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,

donde son los coeficientes de la segunda forma cuadrática, es la curvatura gaussiana y son sus derivadas covariantes. $b_{ij}$ $K\neq 0$ ${\ Displaystyle \ nabla _ {m} b_ {ij}}$ ${\ estilo de visualización \ nabla _ {m} K}$

El tensor de Darboux [1] está asociado con la forma diferencial cúbica

\Theta _{ijm}du^{i}du^{j}du^{m}=\nabla _{m}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m} -{\frac {3\nabla _{m}K}{4K}}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m}.

Esta forma, referida a una curva en la superficie, se llama invariante de Darboux.

La curva, en cada punto de la cual el invariante de Darboux es igual a cero, se llama la línea de Darboux [2] .

El tensor de Darboux de hipersuperficie generalizado es un tensor simétrico de tercer orden covariante triple definido en una hipersuperficie n-dimensional F n con curvatura gaussiana K distinta de cero en el espacio euclidiano E n+1 [3] . Las componentes del tensor de Darboux generalizado de la hipersuperficie se calculan mediante las fórmulas [4] : ${\ estilo de visualización \ Theta _ {(n)))$

\Theta_{(n)ijm}=\nabla_{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla_{m}K+b_{mi}\nabla_{j} K+b_{jm}\nabla _{i}K}{(n+2)K}},\quad i,j,m=1,2,...,n.

La hipersuperficie F n en el espacio euclidiano E n+1 , sobre la que se define el tensor de Darboux generalizado e idénticamente igual a cero, se denomina hipersuperficie generalizada de Darboux en E n+1 .

Notas

↑ Darbouch, G. (1880). Toro. ciencia matemáticas.", 1880, ser. 2, t. 4. R. 348-384.
↑ Kagan, V. F. (1948). Fundamentos de la teoría de superficies en presentación tensorial, parte 2, M.-L.: OGIZ, 1948, pp. 208-233.
↑ Bodrenko, I. I. (2013). Superficies de Darboux generalizadas en espacios de curvatura constante. Saarbrücken, Alemania: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, pp. 119-130. ISBN 978-3-659-38863-7 .
↑ Bodrenko, I. I. (2013). Superficies de Darboux generalizadas en espacios de curvatura constante. C. 119-130.