Curvatura gaussiana

La curvatura gaussiana es una medida de la curvatura de una superficie en la vecindad de cualquiera de sus puntos. La curvatura gaussiana es un objeto de la geometría interna de las superficies, es decir, no cambia bajo flexiones isométricas.

Definición

Curvatura gaussiana para una superficie bidimensional

Denotemos las curvaturas normales en las direcciones principales ( curvaturas principales ) en el punto considerado de la superficie y . Tamaño: $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

llamada la curvatura de Gauss , la curvatura total , o simplemente la curvatura de la superficie. También existe el término escalar de curvatura , que implica el resultado de la convolución del tensor de curvatura ; en este caso, el escalar de curvatura es el doble de grande que la curvatura gaussiana.

La curvatura gaussiana se puede calcular en términos de la métrica de la superficie y, por lo tanto, es un objeto de geometría intrínseca (tenga en cuenta que las curvaturas principales no se aplican a la geometría intrínseca). Por el signo de la curvatura, puede clasificar los puntos de la superficie (ver figura). La curvatura del plano es cero. La curvatura de una esfera de radio R es en todas partes igual a . También hay una superficie de curvatura negativa constante: la pseudoesfera . ${\frac{1}{R^{2}}}$

Curvatura gaussiana para una hipersuperficie

La curvatura de una hipersuperficie n-dimensional en un punto está completamente descrita por sus curvaturas principales y las direcciones principales correspondientes . $k^{{(1)}},k^{{(2)}},\puntos,k^{{(n)}}$

Considere (hasta el signo) polinomios simétricos compuestos de números

(1)\qquad k^{{(1)}},k^{{(2)}},\puntos,k^{{(n)}}:

(2)\qquad \left\{{\begin{matriz}{rcl}K^{{[1]}}&=&-(k^{{(1)}}+k^{{(2)} }+\puntos +k^{{(n)}})=-\sum \limits _{{i}}k^{{(i)}}\\K^{{[2]}}&=&k ^{{(1)}}k^{{(2)}}+k^{{(1)}}k^{{(3)}}+\puntos +k^{{(n-1)} }k^{{(n)}}=\sum \limits _{{i<j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}\\\cdots &\cdots &\ cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\K^{{[n]}}&=&(-1)^{n}k^{{(1)}}k^{{ (2)}}\cdots k^{{(n)}}\\\end{matriz}}\right.

Llamemos a los valores anteriores la curvatura gaussiana del grado correspondiente. La fórmula general para la curvatura gaussiana de grado m se escribe de la siguiente manera:

(3)\qquad K^{{[m]}}=\sum_{{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{m}}}k^{{(i_{1})} }k^{{(i_{2})}}\cdots k^{{(i_{m})}}

Las curvaturas gaussianas son los coeficientes del polinomio característico de la matriz del tensor de curvatura total de la hipersuperficie:

(4)\qquad \det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}+K^{{[1]}}\lambda ^ {{n-1}}+\puntos +K^{{[n-1]}}\lambda +K^{{[n]}}

Fórmula tensorial para la curvatura gaussiana

La fórmula (3) define la curvatura gaussiana a través de los valores propios del tensor de curvatura total de la hipersuperficie . Tratemos de expresar estas cantidades en términos de los componentes del tensor mismo en cualquier sistema de coordenadas. Para calcular el determinante de un tensor arbitrario de segundo rango, tenemos la siguiente fórmula usando el tensor matryoshka métrico (ver tensor unitario absolutamente antisimétrico ): $b_{{ij}}$ $b_{{ij}}$

(5)\qquad \det(a_{j}^{i})={1 \over n!}g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}}^{{i_{1 }i_{2}\puntos i_{n}}}a_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}a_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}\ cpuntos a_{{i_{n}}}^{{j_{n}}}

Sustituimos en esta fórmula para calcular la expresión de la izquierda de la fórmula (4), entonces tenemos: $a_{j}^{i}=\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i}$

(6)\qquad n!\det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{n} }}^{{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}(\lambda \delta_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}-b_{{i_{ 1}}}^{{j_{1}}})\cdots (\lambda \delta_{{i_{n}}}^{{j_{n}}}-b_{{i_{n}}}^ {{j_{n}}})

Abramos los corchetes en la fórmula (6). Dado que el tensor métrico matryoshka no cambia con una permutación sincrónica de los índices superior e inferior, todos los términos con el mismo grado serán iguales (su número es igual al coeficiente binomial ), y obtenemos: $g_{{j_{1}j_{2}\puntos j_{n}}}^{{i_{1}i_{2}\puntos i_{n}}}$ $\lambda^{m}$ $C_{n}^{m}$

(7)\qquad n!\det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}g_{{s_{1}s_{2} \puntos s_{n}}}^{{s_{1}s_{2}\puntos s_{n}}}-C_{n}^{1}\lambda ^{{n-1}}g_{{js_ {2}\puntos s_{n}}}^{{is_{2}\puntos s_{n}}}b_{i}^{j}+C_{n}^{2}\lambda ^{{n- 2}}g_{{j_{1}j_{2}\puntos s_{n}}}^{{i_{1}i_{2}\puntos s_{n}}}b_{{i_{1}}} ^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}-\puntos

Dado que las convoluciones sucesivas del tensor matryoshka métrico son iguales:

(8)\qquad g_{{j_{1}j_{2}\puntos j_{m}s_{{m+1}}s_{{m_{2}}}\puntos s_{n}}}^{{ i_{1}i_{2}\puntos i_{m}s_{{m+1}}s_{{m+2}}\puntos s_{n}}}=(nm)!\,g_{{j_{ 1}\puntos j_{m}}}^{{i_{1}\puntos i_{m}}}

Luego, a partir de la fórmula (7) y la fórmula para los coeficientes binomiales , encontramos la siguiente fórmula para el polinomio característico (dividiendo ambos lados de la ecuación (7) por ): $C_{n}^{m}={n! \sobre m!(nm)!}$ $¡norte!$

(9)\qquad \det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}-{\lambda ^{{n-1)) \ sobre 1!}g_{j}^{i}b_{i}^{j}+{\lambda ^{{n-2}} \sobre 2!}g_{{j_{1}j_{2}}} ^{{i_{1}i_{2}}}b_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}- \puntos

Comparando las fórmulas (9) y (4), encontramos la siguiente fórmula para la curvatura gaussiana:

(10)\qquad K^{{[m]}}={(-1)^{m} \over m!}g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{m}}}^{ {i_{1}i_{2}\dots i_{m}}}b_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2 }}}\puntos b_{{i_{m}}}^{{j_{m}}}

Expresión en términos del tensor de Riemann

Para la curvatura escalar de una hipersuperficie, tenemos la siguiente fórmula

(11)\qquad R=g^{{ik}}g^{{jl}}R_{{ijkl}}=2\sum_{{i<j}}k^{{(i)}}k^ {{(j)}}=2K^{{[2]}}

Para generalizar esta fórmula para potencias superiores, intentemos reemplazar el producto de dos tensores métricos en la fórmula (11) con el tensor matryoshka métrico de cuarto rango:

(12)\qquad g^{{ijkl}}R_{{ijkl}}={\begin{vmatrix}g^{{ik}}&g^{{il}}\\g^{{jk}}&g^ {{jl}}\end{vmatriz}}R_{{ijkl}}=(g^{{ik}}g^{{jl}}-g^{{il}}g^{{jk}})R_ {{ijkl}}=2R=4K^{{[2]}}

Para cálculos posteriores, pasamos a un sistema de coordenadas cartesiano local en uno de los puntos de la variedad P y lo orientamos a lo largo de las direcciones principales de la hipersuperficie. En el punto P , la matriz del tensor métrico será unidad:

(13)\qquad g_{{ij}}=\delta _{{ij}}={\begin{casos}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{casos}}

y, por lo tanto, no podemos distinguir numéricamente entre componentes covariantes y contravariantes correspondientes de tensores (índices superior e inferior). El tensor de Riemann en un punto será en cierto sentido diagonal, es decir, sus componentes distintas de cero serán iguales: $PAGS$

(14)\qquad R_{{ijij}}=-R_{{ijji}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}}\qquad (i\neq j)

y todas aquellas componentes son iguales a cero , donde el segundo par de índices no coincide con hasta una permutación en el par. $R_{{ijkl}}$ $(kl)$ $(ij)$

El lado izquierdo de la fórmula (12) es una forma lineal del tensor de Riemann, y los componentes del tensor matryoshka métrico sirven como coeficientes de esta forma. Una generalización obvia es la consideración de la forma bilineal y formas de mayor grado de la componente del tensor de Riemann. Calculemos la fórmula (12) nuevamente y de tal manera que estos cálculos puedan generalizarse fácilmente. Tenemos, dada la diagonal del tensor de Riemann:

(15)\qquad g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}=\sum_{{i,j}}\left(\sum_{{k, l}}g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}\right)=\sum_{{i,j}}\left(g_{{ij}} ^{{ij}}R_{{ij}}^{{ij}}+g_{{ji}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{ji}}\right)

Además, los dos términos del lado derecho de la fórmula (15) son iguales debido a la antisimetría en los índices dentro del par tanto del tensor matryoshka métrico como del tensor de Riemann. Además, el componente diagonal de la muñeca de anidación métrica es igual a uno, porque (en la siguiente fórmula, no se realiza la suma sobre los mismos índices y los índices son diferentes): $yo, j$

(16)\qquad g_{{ij}}^{{ij}}={\begin{vmatriz}\delta _{i}^{i}&\delta _{j}^{i}\\\delta _ {i}^{j}&\delta _{j}^{j}\end{vmatriz}}={\begin{vmatriz}1&0\\0&1\end{vmatriz}}=1

Teniendo en cuenta lo anterior y la fórmula (14), transformamos aún más la fórmula (15):

(17)\qquad g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}=2\sum_{{i\neq j}}1\cdot k^{{( i)}}k^{{(j)}}=2\cdot 2!\sum_{{i<j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}=2\ cpunto 2!K^{{[2]}}

Ahora pasemos al cálculo de la siguiente forma cuadrática:

(18)\qquad \Phi_{2}(R)=g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}}}^{{i_{1}j_{1}i_{2 }j_{2}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}}}^{{k_ {2}l_{2}}}

Los coeficientes de esta forma son los componentes del tensor matryoshka métrico de octavo rango. Este tensor tiene dos grupos de índices y es antisimétrico con respecto a la permutación de índices dentro de estos grupos. Calculamos de manera similar a la fórmula (15).

(19)\qquad \Phi_{2}(R)=\sum_{{i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}}}\left(\sum_{{k_ {1},l_{1},k_{2},l_{2}}}g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}}}^{{i_{1}j_{ 1}i_{2}j_{2}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}} }^{{k_{2}l_{2}}}\right)=2^{2}\sum_{{i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}}}g_ {{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}}}^{{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}}}R_{{i_{1}j_{ 1}}}^{{i_{1}j_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}}}^{{i_{2}j_{2}}}

Denotemos los índices en cuanto a la simplicidad de la notación: $i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}$ $yo, j, k, l$

(19a)\qquad \Phi_{2}(R)=2^{2}\sum_{{i,j,k,l}}g_{{ijkl}}^{{ijkl}}R_{{ij }}^{{ij}}R_{{kl}}^{{kl}}=2^{2}4!\sum _{{i,j,k,l \over all\;diferente}}g_{ {ijkl}}^{{ijkl}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}

Los cuatro índices deben ser diferentes por pares, ya que los componentes del tensor matryoshka métrico son iguales a cero si hay dos índices idénticos en el mismo grupo. La suma correcta de la fórmula (19a) contiene los componentes diagonales del tensor matryoshka métrico, que son iguales a uno (de manera similar a la fórmula 16). $yo, j, k, l$

(19b)\qquad \Phi_{2}(R)=2^{2}\sum_{{i,j,k,l \over all\;diferente}}k^{{(i)}}k ^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}=2^{2}\cdot 4!\sum_{{i<j<k<l}} k^{{(i)}}k^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}=2^{2}\cdot 4!K^{{ [cuatro]}}

Multiplicador 4! al pasar a la segunda suma en la fórmula (19a), surgió debido al hecho de que para un término en la suma correcta, caracterizada por un conjunto fijo de cuatro números diferentes , ¡corresponde a 4! = 24 términos iguales en la suma de la izquierda, caracterizados por permutaciones de estos cuatro números. $i<j<k<l$

Las fórmulas (19), (19a), (19b) se generalizan fácilmente a formas de mayor grado. Así, obtenemos una fórmula general para encontrar la curvatura gaussiana del par de grados : $2m$

(20)\qquad K^{{[2m]}}={1 \over 2^{m}(2m)!}g_{{k_{1}l_{1}\dots k_{m}l_{m} }}^{{i_{1}j_{1}\puntos i_{m}j_{m}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}} }\cdots R_{{i_{m}j_{m}}}^{{k_{m}l_{m}}}

Una derivación alternativa de la fórmula de curvatura gaussiana para la potencia del par

Usamos la siguiente expresión para el tensor de Riemann en términos del tensor de curvatura total

(21)\qquad R_{{ij}}^{{kl}}=b_{i}^{k}b_{j}^{l}-b_{j}^{k}b_{i}^{l }

y comenzar en la fórmula (10) para agrupar los factores por dos, por ejemplo, a partir de los dos primeros (aquí asumimos que el grado de curvatura gaussiana no es menor que dos ( ), y para simplificar la notación, omitimos las designaciones ): $2m$ $m\geq 1$ $metro$

(22)\qquad (2m)!K=g_{{kl\dots }}^{{ij\dots }}b_{i}^{k}b_{j}^{l}\cdots =-g_{{ kl\puntos}}^{{ji\puntos}}b_{i}^{k}b_{j}^{l}\cdots

La última transformación es válida debido a la antisimetría del tensor matryoshka métrico con respecto a los índices del grupo superior. A continuación, en la última expresión, intercambie los índices : $yo, j$

(23)\qquad (2m)!K=-g_{{kl\puntos}}^{{ij\puntos}}b_{j}^{k}b_{i}^{l}\cpuntos

Ahora agreguemos la ecuación (22) y (23), teniendo en cuenta (21). Obtenemos, nuevamente cambiando la designación de los índices:

(24)\qquad 2(2m)!K^{{[2m]}}=g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}\dots k_{m}l_{m}} }^{{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}\dots i_{m}j_{m}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{ 1}l_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{k_{2}}}\cdots b_{{i_{m}}}^{{k_{m}}}b_{{j_ {m}}}^{{l_{m}}}

El factor 2 del lado izquierdo de la ecuación (24) apareció como resultado de agrupar dos factores . Obviamente, podemos agrupar de manera similar el resto de los factores en pares, luego en el lado izquierdo obtenemos el factor y en el lado derecho, una expresión en la que solo participan el tensor de Riemann y el tensor métrico matryoshka, es decir obtenemos la fórmula (20). $b_{{i_{1}}}^{{k_{1}}}b_{{j_{1}}}^{{l_{1}}}$ $2^{m}$

Curvatura gaussiana de grado impar

La curvatura gaussiana de grado impar también está relacionada con el tensor de Riemann, pero mediante fórmulas más complejas que (20). Además, a partir de estas fórmulas, la curvatura gaussiana se expresa de forma ambigua.

Significado de la curvatura gaussiana

Al principio, la definición de curvatura gaussiana se dio solo para una hipersuperficie (fórmulas 2, 3). Pero la fórmula (20), así como las fórmulas para encontrar la curvatura gaussiana de un grado impar, nos permiten extender este concepto a variedades arbitrarias (abstractas) . Así, podemos considerar las curvaturas gaussianas como invariantes escalares del tensor de Riemann.

La curvatura intrínseca de la variedad está completamente descrita por el tensor de Riemann.

La curvatura gaussiana como escalar se puede integrar sobre el volumen de toda la variedad (ver el artículo Integrales gaussianas ). La integral de K[n] es una invariante topológica de una variedad n - dimensional (no cambia bajo la deformación continua de la variedad).

Fórmula de Brioschi para una superficie bidimensional

La curvatura gaussiana de una superficie bidimensional se puede expresar en términos de los coeficientes de su primera forma cuadrática

ds^{2}=Educ^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}

y sus derivados de primer y segundo orden según la llamada fórmula de Brioschi [1] :

K={\frac {{\begin{vmatriz}-{\frac {1}{2}}E_{{vv}}+F_{{uv}}-{\frac {1}{2}}G_{{ uu))&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1} {2}}G_{u}&F&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}} E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{ u}&F&G\end{vmatriz}}}{(EG-F^{2})^{2}}}

En el caso (la llamada parametrización ortogonal de la superficie), esta fórmula se puede reescribir como $F=0$

K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG))))\left({\frac {\parcial }{\partial u)){\frac {G_{u)){{\sqrt { EG))))+{\frac {\parcial }{\parcial v}}{\frac {E_{v}}({\sqrt {EG}}}}\right).

Si la superficie se da como un gráfico de una función derivable en un espacio euclidiano tridimensional con métrica , esta fórmula toma la forma $z=f(x,y)$ $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

K={\frac {f_{{xx}}\cdot f_{{yy}}-f_{{xy}}^{2}}{(1+f_{x}^{2}+f_{y}^ {2})^{2}}}

Si la superficie en el espacio euclidiano tridimensional con métrica viene dada por la ecuación , la fórmula toma la forma [2] $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ $f(x,y,z)=0$

K={\frac {[f_{z}(f_{{xx}}f_{z}-2f_{x}f_{{xz}})+f_{x}^{2}f_{{zz}}] [f_{z}(f_{{yy}}f_{z}-2f_{y}f_{{yz}})+f_{y}^{2}f_{{zz}}]-[f_{z} (-f_{x}f_{{yz}}+f_{{xy}}f_{z}-f_{{xz}}f_{y})+f_{x}f_{y}f_{{zz}} ]^{2}}{f_{z}^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+f_{z}^{2})^{2}}}

Si la primera forma cuadrática es conformemente equivalente a la euclidiana, es decir, con alguna función y , la fórmula para la curvatura gaussiana toma la forma $E=G=e^{{u}}$ $u=u(x,y)$ $F=0$

K=-{\frac{1}{2e^{u}}}\Delta u,

donde es el operador de Laplace .

\Delta

Véase también

Notas

↑ Fórmula de Brioschi en Wolfram MathWorld . Consultado el 24 de junio de 2020. Archivado desde el original el 2 de mayo de 2021. (indefinido)
↑ Curvatura gaussiana en Wolfram MathWorld . Consultado el 24 de junio de 2020. Archivado desde el original el 18 de marzo de 2020. (indefinido)

Literatura

Pogorelov A. V. Geometría diferencial (6ª edición). Moscú: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Un curso de geometría diferencial (3ª edición). M.-L.: GITTL, 1950.

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