El teorema de Burnside

El teorema de Burnside es un teorema clásico en la teoría de grupos finitos .

El teorema fue probado por William Burnside a principios del siglo XX. [1] El teorema de Burnside ha sido durante mucho tiempo la aplicación más famosa de la teoría de la representación a la teoría de grupos . Goldsmith encontró una prueba sin usar caracteres de grupo mucho más tarde. [2]

Redacción

Deje que el grupo tenga orden , donde y son números primos . Entonces está permitido . $GRAMO$ ${\displaystyle p^{a}\cdot q^{b))$ $pags$ $q$ $GRAMO$

Notas

Del teorema se deduce que todo grupo simple finito no abeliano tiene un orden divisible por tres primos distintos.
- En particular, el grupo simple finito no abeliano más pequeño , el grupo alterno, tiene orden . $A_{5}$ ${\displaystyle 60=5\cdot 3\cdot 2^{2))$

Esquema de la prueba de Burnside

Por inducción matemática , basta probar que un grupo simple de un orden dado es abeliano [3] . $GRAMO$
Por el teorema de Sylow , un grupo tiene un centro no trivial o una clase de conjugación de tamaño para algunos . En el primer caso, dado que el centro es un subgrupo normal del grupo , debe coincidir con el centro y, por lo tanto, ser abeliano. Esto significa que el segundo caso es cierto: existe un elemento del grupo tal que la clase de conjugación del elemento tiene tamaño . $GRAMO$ ${\ Displaystyle pag^{r}}$ $r\geqslant 1$ $GRAMO$ $X$ $GRAMO$ $X$ $p^{r}>1$
Usando las propiedades de ortogonalidad de los caracteres de grupo y las propiedades de los números algebraicos, se puede demostrar la existencia de un carácter de grupo irreducible no trivial tal que . $\ chi$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización | \ chi (x) | = \ chi (1)}$
De la simplicidad del grupo se deduce que cualquier representación compleja e irreducible de un carácter es verdadera (o exacta), y por lo tanto se sigue que pertenece al centro del grupo , lo que contradice el hecho de que el tamaño de la clase de conjugación es mayor que 1. $GRAMO$ $\ chi$ $X$ $GRAMO$

Variaciones y generalizaciones

El número primo más pequeño en la expansión del orden de un grupo finito irresoluble entra en la expansión a una potencia de al menos 2.

Notas

↑ Burnside, W. (1904), Sobre grupos de orden p α q β , Proc. Matemáticas de Londres. soc. (n.º s2-1(1)): 388–392, doi : 10.1112/plms/s2-1.1.388 , < https://zenodo.org/record/1433459/files/article.pdf >
↑ Goldschmidt, David M. (1970), Una prueba teórica de grupo del teorema p a q b para primos impares , Matemáticas. Z. T. 113: 373–375 , DOI 10.1007/bf01110506
↑ Skornyakov L. A. Elementos de álgebra. — M.: Nauka, 1986. — S. 228-229. – Circulación 21.000 ejemplares.

Literatura

James, Gordon; y Liebeck, Martín (2001). Representaciones y caracteres de grupos (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-00392-X . capitulo 31
Fraleigh, John B. (2002) Un primer curso de álgebra abstracta (séptima edición). AddisonWesley . ISBN 0-201-33596-4 .

Enlaces

R. Borcherds (inglés) , Teoría de la representación: el teorema de Burnside en YouTube