Inducción matemática

La inducción matemática es un método de prueba matemática que se utiliza para probar la verdad de alguna declaración para todos los números naturales . Para hacer esto, primero, se verifica la verdad de la declaración con el número : la base (base) de la inducción, y luego se prueba que si la declaración con el número es verdadera, entonces la siguiente declaración con el número también lo es . verdadero: el paso de inducción o la transición de inducción. $una$ $norte$ $n+1$

La prueba por inducción se puede representar visualmente en forma del llamado principio dominó . Deje que cualquier número de fichas de dominó se coloquen en una fila de tal manera que cada ficha de dominó, al caer, necesariamente derribe a la siguiente ficha de dominó (esta es la transición inductiva). Entonces, si empujamos el primer hueso (esta es la base de la inducción), todos los huesos de la fila caerán.

Redacción

Supongamos que se requiere establecer la validez de una secuencia infinita de enunciados, numerados por números naturales : . $P_{1},P_{2},\ldots,P_{n},P_{{n+1}},\ldots$

Supongamos que

Encontrado para ser verdad. (Esta declaración se llama la base de la inducción ). $P_1$
Para cualquiera se prueba que si es verdadero , entonces es verdadero . (Esta afirmación se llama paso inductivo ). $norte$ $P_{n}$ $P_{{n+1}}$

Entonces todas las declaraciones en nuestra secuencia son verdaderas.

La base lógica de este método de demostración es el llamado axioma de inducción , el quinto de los axiomas de Peano que definen los números naturales . La corrección del método de inducción es equivalente al hecho de que en cualquier subconjunto no vacío de números naturales hay un elemento mínimo.

El principio de la inducción matemática completa

También existe una variación, el llamado principio de inducción matemática completa. Aquí está su redacción estricta:

Sea una secuencia de enunciados , , , . Si para cualquier natural del hecho de que todos , , , , son verdaderos , también se sigue que , entonces todos los enunciados en esta secuencia son verdaderos, es decir, . $P_1$ $P_2$ $P_{3}$ $\ldots$ $norte$ $P_1$ $P_2$ $P_{3}$ $\ldots$ $P_{{n-1}}$ $P_{n}$ ${\displaystyle (\forall n\in {\mathbb {N} }){\Big (}(\forall i\in \{1;\dots ;n-1\})P_{i}\Rightarrow P_{n }{\Big)}\Rightarrow (\forall n\in {\mathbb {N} })P_{n))$

En esta variación, la base de inducción resulta redundante, ya que es un caso especial trivial de la transición inductiva. De hecho, si la condición es exactamente equivalente (no hay nada que seguir de su verdad). Sin embargo, uno todavía tiene que probar el paso inductivo por separado, por lo que es razonable señalar esta parte como base. $n=1$ ${\displaystyle (\forall i\in \{1;\dots ;n-1\})P_{i}\Rightarrow P_{n))$ $P_1$ $P_1$

El principio de inducción matemática completa es equivalente al axioma de inducción en los axiomas de Peano .

También es una aplicación directa de la inducción transfinita más fuerte .

Historia

El conocimiento del método de inducción matemática como un método importante separado se remonta a Blaise Pascal y Gersonides , aunque Proclo y Euclid [1] encuentran algunos casos de aplicación en la antigüedad . El nombre moderno para el método fue introducido por de Morgan en 1838 .

Ejemplos

La suma de una progresión geométrica. Demostrar que, cualquiera que sea el natural y el real , se cumple la igualdad $norte$ ${\ estilo de visualización q \ neq 1}$

\sum _{i=0}^{n}q^{i}\equiv 1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{ n+1}}{1-q}}.

Prueba. Por inducción sobre para un arbitrario . $norte$ $q$

Probemos la base de inducción para : $n=1$

1+q={\frac {(1-q)(1+q)}{1-q}}={\frac {1-q^{{1+1}}}{1-q}}.

Probemos la transición : supongamos que para $n = k$

1+q+\cdots +q^{k}={\frac {1-q^{k+1}}{1-q)),

entonces para , según el supuesto: $n=k+1$

1+q+\cdots +q^{k}+q^{k+1}={\frac {1-q^{k+1}}{1-q}}+q^{k+1 }=

={\frac {1-q^{k+1}+(1-q)q^{k+1}}{1-q}}={\frac {1-q^{k+1 }+q^{k+1}-q^{(k+1)+1}}{1-q}}={\frac{1-q^{(k+1)+1}}{1- q}}

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, la igualdad se cumple para cualquier . QED $norte$

Comentario: la verdad del enunciado en esta prueba es la misma que la verdad de la igualdad $P_{n}$

1+q+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{{n+1}}}{1-q}}.

Ejemplos importantes: la desigualdad de Bernoulli , el binomio de Newton .

Variaciones y generalizaciones

Véase también

Sofisma matemático # Prueba por inducción
- Prueba de que todos los caballos son monocromáticos

Notas

↑ Nachum L. Rabinovih. El rabino Levi ben Gershom y los orígenes de la inducción matemática // Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . - 1970. - Edición. 6 _ - S. 237-248 .

Literatura

A. Shen. Inducción matemática . - MTsNMO , 2004. - 36 p.
N. Ya. Vilenkin . Inducción. Combinatoria. - Una guía para profesores. - M. : Educación, 1976. - 48 p.
L. I. Golovina, I. M. Yaglom . Inducción en Geometría . - Fizmatgiz , 1961. - T. 21. - 100 p. - ( Clases populares de matemáticas ).
R. Courant , G. Robbins. Capítulo I, § 2 // ¿Qué son las matemáticas?
I. S. Sominsky. El Método de Inducción Matemática . - Nauka, 1965. - T. 3. - 58 p. - ( Clases populares de matemáticas ).

Enlaces

Video sobre el método de inducción matemática.

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En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4124408-4 J9U : 987007548367405171 LCCN : sh85065806