Teorema de Varignon (geometría)
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 15 de diciembre de 2021; las comprobaciones requieren 5 ediciones .El teorema de Varignon es un hecho geométrico demostrado por Pierre Varignon y que establece que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de un paralelogramo:
Un cuadrilátero cuyos vértices coinciden con los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario es un paralelogramo cuyos lados son paralelos a las diagonales del cuadrilátero original.
El paralelogramo formado por los puntos medios de los lados a veces se llama varinon o varinon .
Consecuencias
- El centro del paralelogramo de Varignon se encuentra en el medio del segmento que conecta los puntos medios de los lados del cuadrilátero original (en el mismo punto, los segmentos que conectan los puntos medios de los lados opuestos, las diagonales del paralelogramo de Varignon) se cruzan.
- El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original.
- El área del paralelogramo de Varignon es igual a la mitad del área del cuadrilátero original.
- Para un rectángulo y un trapezoide isósceles, el paralelogramo de Varignon es un rombo , y para un rombo, un rectángulo .
- Un paralelogramo de Varignon es un rombo si y solo si en el cuadrilátero original 1) las diagonales son iguales 2) las bimedianas son perpendiculares.
- Un paralelogramo de Varignon es un rectángulo si y sólo si en el cuadrilátero original: 1) las diagonales son perpendiculares; 2) las bimedianas son iguales.
- Un paralelogramo de Varignon es un cuadrado si y sólo si en el cuadrilátero original 1) las diagonales son iguales y perpendiculares; 2) las bimedianas son iguales y perpendiculares.
Prueba
Prueba de que el área de un paralelogramo es la mitad del área del cuadrilátero original
Deja que la diagonal pase dentro del cuadrilátero. Entonces el área del triángulo es , donde es la altura del triángulo dibujada desde el vértice . Del mismo modo, el área de un triángulo es . Entonces el área de todo el cuadrilátero es . Pero , esta es la suma de las distancias a la línea desde los puntos y , es decir, exactamente la altura del paralelogramo . Y como el lado del paralelogramo es la mitad de largo , entonces el área del paralelogramo es igual a la mitad del área , QED
| cuadrilátero convexo | cuadrilátero no convexo | cuadrilátero que se interseca a sí mismo |
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