Paralelogramo

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El paralelogramo ( otro griego παραλληλόγραμμον ← παράλληλος  "paralelo" + γραμμή  "línea") es un cuadrilátero , en el que los lados opuestos son paralelos por pares, es decir, se encuentran en líneas paralelas . (Ver otras definiciones )

Los casos especiales de un paralelogramo son un rectángulo , un cuadrado y un rombo .

Propiedades

• Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.
• Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.
• La suma de los ángulos adyacentes a un lado es 180° (por la propiedad de las líneas paralelas).
• Las diagonales de un paralelogramo se intersecan y el punto de intersección las biseca: .
• El punto de intersección de las diagonales es el centro de simetría del paralelogramo.
• Un paralelogramo se divide por una diagonal en dos triángulos iguales .
• Las líneas medias de un paralelogramo se cortan en el punto de intersección de sus diagonales. En este punto, sus dos diagonales y sus dos líneas medias se bisecan.
• Identidad del paralelogramo : la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual al doble de la suma de los cuadrados de sus dos lados adyacentes: sea

 - longitud del lado ,  - longitud del lado , y  son las longitudes de las diagonales; después La identidad del paralelogramo es una simple consecuencia de la fórmula de Euler para un cuadrilátero arbitrario : cuadriplicar el cuadrado de la distancia entre los puntos medios de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los lados del cuadrilátero menos la suma de los cuadrados de sus diagonales . Un paralelogramo tiene lados opuestos iguales y la distancia entre los puntos medios de las diagonales es cero.

• Una transformación afín siempre lleva un paralelogramo a un paralelogramo. Para cualquier paralelogramo, existe una transformación afín que lo asigna a un cuadrado.

Características del paralelogramo

El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si se cumple una de las siguientes condiciones (en este caso, todas las demás también se cumplen):

1. Un cuadrilátero sin autointersecciones tiene dos lados opuestos que son simultáneamente iguales y paralelos: .
2. Todos los ángulos opuestos son iguales en pares: .
3. En un cuadrilátero sin autointersecciones, todos los lados opuestos son iguales por pares: .
4. Todos los lados opuestos son paralelos por pares: .
5. Las diagonales se dividen por la mitad en el punto de su intersección: .
6. La suma de las distancias entre los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo es igual a su medio perímetro.
7. La suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los lados de un cuadrilátero convexo: .

Área de un paralelogramo

Estas son las fórmulas que son características de un paralelogramo. Ver también fórmulas para el área de cuadriláteros arbitrarios .

El área de un paralelogramo es igual al producto de su base por su altura:

, donde  - lado,  - la altura dibujada a este lado.

El área de un paralelogramo es igual al producto de sus lados por el seno del ángulo entre ellos:

donde y  son los lados y a  es el ángulo entre los lados y .

Además, el área de un paralelogramo se puede expresar en función de los lados y la longitud de cualquiera de las diagonales utilizando la fórmula de Heron como la suma de las áreas de dos triángulos iguales contiguos:

dónde

Véase también

• Paralelepípedo
• Rectángulo
• Romboidal
• Paralelogramo de Varignon
• Teorema de Tebo 1

Notas

polígonos
Por número de lados	monógono Grande en Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono Decágono Endecágono Dodecágono Trece tetradecágono Pentágono Hexágono De diecisiete octágono Diecinueveagón Dodecágono Veintiún lados Veintidós ángulo veintetrigon veinte cuadrangular Veinte pentágono Veinte octágono Tridecágono Thirty-Biagon Cuarenta cuadrados Cuarenta bicagón pentecostal pentecostal Hexágono Sesenta y cuatro heptágono octágono nonágono [ es Millagón Diezmil-gon cienmilésima Milliogon infinito
Correcto	convexo Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon estrellado Pentagrama Hexagrama heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama
triangulos	Isósceles Derecha Rectangular
cuadriláteros	inscrito descrito no descrito Paralelogramo antiparalelogramo Rectángulo rectángulo dorado Rombo Romboidal Trapecio Deltoides Cuadrado unidad cuadrada lamberto saccheri
ver también	Lista de polígonos Punto perteneciente a un polígono Teorema de Bolyai-Gervin Teorema de Brahmagupta Teorema de Gauss-Wanzel Fórmula pico Teorema de la suma de los ángulos del polígono Relación Bretschneider