Teorema de Wick para la integral funcional

El teorema de Wick para la integral funcional es una generalización del teorema de Wick para un polinomio en las coordenadas de un vector gaussiano multidimensional al caso de una distribución continua gaussiana . Ampliamente utilizado en el aparato de integrales funcionales .

Redacción

Teorema.

Deje que el campo aleatorio corresponda a la distribución gaussiana continua con media cero, es decir . Entonces lo siguiente es cierto para los valores medios de productos de cantidades de la forma : ${\ estilo de visualización \ varphi (X)}$ $\langle \varphi (X)\rangle =0$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {i} = \ varphi (X_ {i})}$

$\langle \varphi _{1}\cdot \ldots \cdot \varphi _{N}\rangle =\sum \langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle ,$

si es par, y $norte$

$\langle \prod _{i\in I}\varphi _{i}\rangle =0,$

si impar. $norte$

Debajo se entiende la partición del conjunto en pares , mientras que la suma recorre todas las posibles particiones diferentes en tales pares. $\langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{ N/2}}\ángulo$ $\{1,\ldots,N\}$ ${\ estilo de visualización N/2}$ ${\ estilo de visualización (i_ {k}, j_ {k})}$ $\{1,\ldots,N\}$

Ejemplos

Al producto 4 elementos: . $\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle =\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _ {2} \ rangle \ cdot \ langle \ varphi _ {3} \ cdot \ varphi _ {4} \ rangle + \ langle \ varphi _ {1} \ cdot \ varphi _ {3} \ rangle \ cdot \ langle \ varphi _ {2} \ cdot \ varphi _ {4} \ rangle + \ langle \ varphi _ {1} \ cdot \ varphi _ {4} \ rangle \ cdot \ langle \ varphi _ {2} \ cdot \ varphi _ { 3}\ángulo$

Al producto 6 elementos:

$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\cdot \varphi _{5}\cdot \varphi _{6 }\rangle =\sum \langle \varphi _{i}\cdot \varphi _{j}\rangle \cdot \langle \varphi _{k}\cdot \varphi _{l}\rangle \cdot \langle \varphi _ {m}\cdot \varphi_{n}\rangle$ ,

además, la suma se realiza sobre todos los emparejamientos posibles seleccionados del conjunto , por ejemplo, o (hay 15 emparejamientos de este tipo en total). ${\ estilo de visualización (i, j), (k, l), (m, n)}$ ${\ estilo de visualización \ {1,2,3,4,5,6\}}$ ${\ estilo de visualización (1,3), (2,5), (4,6)}$ ${\ estilo de visualización (1,5), (2,4), (3,6)}$

Análogamente para casos de 8 o más elementos

Uso

Se sabe que si la densidad de distribución gaussiana se describe mediante la fórmula

$\rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}$ ,

después

$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle =\langle \varphi (X_{1})\cdot \varphi (X_{2})\rangle =K^{-1 }(X_{1},X_{2})$ .

Es decir, cualquier función de correlación puede expresarse mediante el teorema de Wick en términos de combinaciones , es decir, por ejemplo $G(X_{1},\ldots ,X_{N})=\langle \varphi (X_{1}),\ldots ,\varphi (X_{N})\rangle$ $K^{-1}$

$G(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=K^{-1}(X_{1},X_{2})\cdot K^{-1 }(X_{3},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{3})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{4})+ K^{-1}(X_{1},X_{4})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{3})$ .

Véase también

Literatura

Vasiliev A. N. Grupo de renormalización de campos cuánticos en la teoría del comportamiento crítico y dinámica estocástica. - Editorial del Instituto de Física Nuclear de San Petersburgo (PNPI), 1998. - ISBN 5-86763-122-2 .