Distribución continua gaussiana
La distribución del continuo gaussiano se introdujo en la teoría cuántica de campos como una extensión de la noción de una distribución gaussiana para vectores de dimensión finita a los espacios continuos de campos escalares y vectoriales . La distribución continua se utiliza activamente en el aparato de integrales funcionales .
Definición
Considere un campo de algún espacio definido por las condiciones del problema (como regla, el problema define condiciones como la suavidad y la disminución en el infinito). En general, tiene un número arbitrario de iconos y argumentos. Si denotamos el conjunto de iconos de campo como , y el conjunto de argumentos como , llamamos a la densidad de distribución normal (gaussiana) funcional
,
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\iint \limits _{\Omega ^{2}}\!\mathrm { d} X_{1}\,\mathrm {d} X_{2}\,\varphi _{I_{1}}(X_{1})\cdot K_{I_{1},I_{2}}(X_ {1},X_{2})\cdot\varphi _{I_{2}}(X_{2})\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df90230b065fce148f45dfb81b6aa7560d2c8a09)
donde es el dominio de los argumentos de campo , la suma está implícita en los conjuntos de iconos y es el núcleo de algún operador diferencial-integral , y es una constante de normalización.
Esta definición, por regla general, se escribe más brevemente, omitiendo los signos, argumentos e integraciones:
.
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)\right\}=C \exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8079e0c665e981498992004c24282f2b0e24007)
Promedios
Digamos que queremos calcular el valor promedio de alguna cantidad ( función de estado ) . Introducimos la operación de promediar
![{\ estilo de visualización F [\ varphi]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2efa2888b17d414da8ac85ac12a7926e69ade1c)
![{\displaystyle \langle F\rangle =\int \limits _{E}\!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]F[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def965106793053b60205b4a7712aa57c9639315)
La integral funcional (ruta) se escribe en el lado derecho de la expresión (para más detalles, consulte Integral funcional ).
Cálculo de integrales de trayectoria gaussiana
Para integrales gaussianas de trayectoria, la generalización de la fórmula para integrales gaussianas n-dimensionales al caso de trayectoria funciona:
.
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left (A,\varphi \right)\right\}=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac { (A,K^{-1}A)}{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88dd7586b1dd330e16e316ee72b6228ec15415b)
Condición de normalización y constante
Introduciendo la condición de normalización
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi\,\rho \left[\varphi \right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b26db962bc5b4df0934f5e6e6c3700910c1023)
y usando la fórmula del párrafo anterior, obtenemos
.
![{\displaystyle C=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f758b76ab1854e42b36498d8bcc0d110e3b2a50f)
Véase también
Literatura
- Richard Phillips Feynman, Albert R. Hibbs. Mecánica cuántica e integrales de trayectoria. - Editorial "Mir", 1968.