Teorema de continuación de Kirschbrown

El teorema de extensión de Kirschbrown (a veces llamado teorema de Valentine ) es un teorema sobre la existencia de una extensión de una función de Lipschitz definida en un subconjunto del espacio euclidiano al espacio completo.

Redacción

Sea un subconjunto arbitrario del espacio euclidiano , entonces una aplicación corta arbitraria puede extenderse a una aplicación corta ; en otras palabras, hay un mapeo corto tal que . $S$ $\mathbb{R} ^{n}$ ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{m))$ ${\displaystyle {\bar {f)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ ${\displaystyle {\bar {f)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ ${\ estilo de visualización {\ bar {f}} | _ {S} = f}$

Variaciones y generalizaciones

Naturalmente generaliza a
- Mapeos de un subconjunto de un espacio de Hilbert a un espacio de Hilbert.
- Mapeos de un subconjunto del espacio de Lobachevsky en el espacio de Lobachevsky de la misma curvatura
Un resultado similar para aplicaciones entre esferas no es cierto, pero el teorema sigue siendo cierto para
- Mapeos de un subconjunto de una esfera a un hemisferio de la misma curvatura.
- Mapeos de un subconjunto de una esfera a una esfera de la misma curvatura de no menor dimensión.
Un resultado similar para los espacios de Banach es incorrecto.

geometría métrica

Lang y Schröder [1] [2] dieron una generalización del teorema de Kirschbrown a espacios métricos .
Cualquier mapeo corto definido sobre un subconjunto de un espacio métrico arbitrario con valores en un espacio inyectivo admite una extensión corta a todo el espacio. Esto da otra generalización del teorema a espacios métricos. Los espacios inyectivos incluyen la línea real y los árboles métricos, así como los espacios -. $L^{\infty}$
Para espacios métricos con la propiedad de duplicación , se cumple una versión débil del teorema de Kirschbrown. Es decir, si es un espacio métrico con la propiedad de duplicación y es un espacio de Banach, entonces cualquier asignación de -Lipschitz se extiende a la asignación de -Lipschitz , donde la constante depende solo del parámetro en la propiedad de duplicación. [3] $X$ $A\subconjunto X$ $V$ $L$ ${\ estilo de visualización A \ a V}$ $C\cdot L$ ${\ estilo de visualización X \ a V}$ $C$

Historia

Se probó en la disertación de Moizhes Kirshbraun (defendida en 1930) [4] . Posteriormente este teorema fue reprobado por Frederic Valentine [5] .

Véase también

Teorema de continuación de Tietze

Notas

↑ Lang, U.; Schroeder, teorema de V. Kirszbraun y espacios métricos de curvatura acotada. Geom. Función Anal. 7 (1997), núm. 3, 535–560.
↑ Alejandro, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov conoce a Kirszbraun. Actas de la Conferencia de Geometría y Topología de Gökova 2010, 88–109, Int. Prensa, Somerville, MA, 2011.
↑ 4.1.21 en Heinonen, Juha, et al. Espacios de Sobolev sobre espacios de medidas métricas. vol. 27. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2015.
↑ MD Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. fondo. Math., (22):77-108, 1934.
↑ FA Valentine, "Sobre la extensión de una función vectorial para preservar una condición de Lipschitz", Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, págs. 100-108, 1943.