Espacio de Hilbert

Un espacio de Hilbert es una generalización del espacio euclidiano , que admite una dimensión infinita y es completo en términos de la métrica generada por el producto escalar . Nombrado después de David Hilbert .

El objeto de estudio más importante en el espacio de Hilbert son los operadores lineales [1] . El concepto mismo de un espacio de Hilbert se formó en el trabajo de Hilbert y Schmidt sobre la teoría de las ecuaciones integrales , y se dio una definición abstracta en el trabajo de von Neumann , Rees y Stone sobre la teoría de los operadores hermitianos .

Definición

El espacio de Hilbert es un espacio lineal (vectorial) (sobre el campo de los números reales o complejos) en el que [2] :

se indica una regla que permite determinar para cualesquiera dos elementos del espacio y su producto escalar ; $X$ $y$ $(x,y)$
esta regla cumple los siguientes requisitos:
- ${\ estilo de visualización (y, x) = (x, y)}$ (ley de desplazamiento en un espacio real de Hilbert) o (ley de desplazamiento en un espacio complejo de Hilbert, la barra significa el signo de la conjugación compleja) [3] ; $(y,x)={\overline {(x,y)))$
- ${\ estilo de visualización (x, y + z) = (x, y) + (x, z)}$ (Ley distributiva);
- ${\ estilo de visualización (\ lambda x, y) = \ lambda (x, y)}$ para cualquier número real ; $\lambda$
- ${\ estilo de visualización (x, x)> 0}$ en y en . $x \ ne 0$ ${\ estilo de visualización (x, x) = 0}$ $x=0$
el cual es completo con respecto a la métrica generada por este producto escalar . Si no se cumple la condición de completitud del espacio, entonces se habla de un espacio pre-Hilbert . Sin embargo, la mayoría de los espacios conocidos (usados) están completos o pueden reponerse. $d(x,y)=\|xy\|={\sqrt {(xy,xy)))$

Así, un espacio de Hilbert es un espacio de Banach (espacio normado completo) cuya norma es generada por un producto escalar definido positivo y se define como $\|x\|={\sqrt {(x,x)))$

Una norma en un espacio normado arbitrario puede ser generada por algún producto interno si y solo si se cumple la siguiente igualdad (identidad) de paralelogramo :

(\para todo x,y\en H)\quad \|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\ |^{2}).

Si un espacio de Banach que satisface la identidad del paralelogramo es real, entonces el producto escalar correspondiente a su norma viene dado por la igualdad

(x,y)=\izquierda\|{\dfrac {x+y}{2}}\derecha\|^{2}-\izquierda\|{\dfrac {xy}{2}}\derecha\|^ {2}.

Si este espacio es complejo, entonces el producto escalar correspondiente a su norma viene dado por la igualdad

(x,y)=\izquierda\|{\dfrac {x+y}{2}}\derecha\|^{2}-\izquierda\|{\dfrac {xy}{2}}\derecha\|^ {2}+i\izquierda\|{\dfrac {x+iy}{2}}\derecha\|^{2}-i\izquierda\|{\dfrac {x-iy}{2}}\derecha\ |^{2}

(identidad de polarización).

Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky. Ortogonalidad

En un espacio de Hilbert, la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky es importante :

|(x,y)|\leqslant \|x\|\|y\|

Esta desigualdad en el caso de un espacio real de Hilbert permite determinar el ángulo entre dos elementos x e y mediante la siguiente fórmula $\varphi$

\cos \varphi ={\frac {(x,y)}{\|x\|\|y\|}}

En particular, si el producto escalar es igual a cero y los elementos mismos son distintos de cero, entonces el ángulo entre estos elementos es igual a , lo que corresponde a la ortogonalidad de los elementos x e y. El concepto de ortogonalidad también se introduce en un espacio complejo de Hilbert utilizando la relación . El símbolo se utiliza para indicar la ortogonalidad de los elementos . Dos subconjuntos y un espacio de Hilbert son ortogonales si dos elementos cualesquiera son ortogonales. $(x,y)=0$ $90^{\círculo}$ $(x,y)=0$ $\perp$ $METRO$ $norte$ $(M\perp N)$ $f\en M$ $g\in N$

Para vectores ortogonales por pares, el teorema de Pitágoras (generalizado) es válido:

{\displaystyle \left\|\sum _{i}x_{i}\right\|^{2}=\sum _{i}\|x_{i}\|^{2))

El conjunto de todos los elementos del espacio ortogonales a algún subconjunto es una variedad lineal cerrada (subespacio) y se denomina complemento ortogonal de este conjunto. $A$

Un subconjunto de elementos se denomina sistema ortonormal si dos elementos cualesquiera del conjunto son ortogonales y la norma de cada elemento es uno.

Bases y dimensiones de un espacio de Hilbert

Un sistema de vectores en un espacio de Hilbert está completo si genera todo el espacio, es decir, si un elemento arbitrario del espacio puede aproximarse arbitrariamente con precisión en la norma mediante combinaciones lineales de los elementos de este sistema. Si hay un sistema completo contable de elementos en un espacio, entonces el espacio es separable , es decir, hay un conjunto denso numerable en todas partes cuyo cierre en términos de la métrica del espacio coincide con todo el espacio.

Este sistema completo es una base si cada elemento del espacio se puede representar como una combinación lineal de los elementos de este sistema, y de forma única. Cabe señalar que en el caso general de los espacios de Banach no se sigue de la integridad y la independencia lineal de los elementos del sistema que éste sea una base. Sin embargo, en el caso de espacios de Hilbert separables, el sistema ortonormal completo es una base. Para que un sistema ortonormal sea completo en un espacio de Hilbert separable, es necesario y suficiente que no haya ningún elemento distinto de cero ortogonal a todos los elementos del sistema ortonormal. Así, para cada elemento del espacio, hay una expansión en base ortonormal : $\{e_{i}\}$ $\{e_{i}\}$ $F$ $\{e_{i}\}$

f=\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{i}e_{i}=\sum_{i=1}^{\infty}(f,e_{i})e_{i }

Los coeficientes de expansión se denominan coeficientes de Fourier. Al mismo tiempo, para la norma del elemento, se cumple la igualdad de Parseval : $\alpha _{i}=(f,e_{i})$

{\displaystyle \|f\|^{2}=\sum _{i=1}^{\infty}|(f,e_{i})|^{2))

Todas las bases ortonormales en un espacio de Hilbert tienen la misma cardinalidad, lo que permite definir la dimensión de un espacio de Hilbert como la dimensión de una base ortonormal arbitraria (dimensión ortogonal). Un espacio de Hilbert es separable si y solo si tiene una dimensión contable.

La dimensión de un espacio también se puede definir como la más pequeña de las cardinalidades de los subconjuntos de un espacio de Hilbert para el cual el cierre del tramo lineal coincide con . $H$ $H$

Cualquier dos espacios de Hilbert que tengan la misma dimensión son isomorfos . En particular, cualquier dos espacios de Hilbert separables de dimensión infinita son isomorfos entre sí y con el espacio de secuencias sumables al cuadrado . $\ell ^{2}$

Hay espacios de Hilbert no separables, espacios en los que no hay una base contable [4] . En particular, es interesante el ejemplo de un espacio no separable con una medida especial [5] . $L^{2}$

Expansiones ortogonales

Sea algún subespacio en el espacio de Hilbert . Entonces, para cualquier elemento , la única descomposición es verdadera , donde , y . El elemento se llama la proyección del elemento sobre . El conjunto de elementos ortogonales al subespacio forma un subespacio (cerrado) que es el complemento ortogonal del subespacio . $L$ $H$ $f \ en H$ $f=g+h$ $g\en L$ $h \ perp L$ $gramo$ $F$ $L$ $h$ $L$ $METRO$ $L$

Se dice que el espacio se descompone en una suma directa de subespacios y , que se escribe como . Se puede escribir de manera similar . $H$ $L$ $METRO$ $H=L\o más M$ $L=H\omenos M$

El espacio de los funcionales lineales

El espacio de funcionales lineales continuos (acotados) también forma un espacio lineal y se denomina espacio dual.

Se cumple el siguiente teorema de Rees sobre la forma general de un funcional lineal acotado en un espacio de Hilbert: para cualquier funcional lineal acotado en un espacio de Hilbert , existe un único vector tal que para cualquier . En este caso, la norma del funcional lineal coincide con la norma del vector : $F$ $H$ $y\en H$ $f(x)=(x,y)$ $x\en H$ $F$ $y$

\|f\|=\sup _{\|x\|=1}|f(x)|={\sqrt {(y,y)))

Del teorema se sigue que el espacio de funcionales lineales acotados sobre un espacio de Hilbert es isomorfo al espacio mismo . $H$ $H$

Operadores lineales en espacios de Hilbert

Un operador lineal puede ser representado en una base dada por los elementos de la matriz de una forma única: . $A$ $a_{ij}=(Ae_{i},e_{j})$

Un operador lineal se llama adjunto al operador si para cualquier elemento y la igualdad se cumple . La norma del operador adjunto es igual a la norma del propio operador. $un^{*}$ $A$ $X$ $y$ $(Ax,y)=(x,A^{*}y)$

Un operador lineal acotado se llama autoadjunto ( simétrico ) si . $A^{*}=A$

El operador definido sobre todo el espacio, que asocia cada elemento con su proyección sobre algún subespacio, se denomina operador proyectista (operador de proyección). Un proyector es un operador tal que . Si, además, un proyector es un operador autoadjunto, entonces también es un proyector ortogonal. El producto de dos operadores de proyección es de proyección si y solo si son permutables: . $PAGS$ $P^{2}=P$ $PAGS$ $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}$

Propiedades

Teorema de representación de Rees : para cualquier sistema ortonormal de vectoresen un espacio de Hilberty una secuencia de númerostal que, enexiste un elementotal quey. ${\lbrace \phi _{i}\rbrace}_{i=1}^{\infty}$ $H$ ${\lbrace C_{i}\rbrace }_{i=1}^{\infty}$ $\sum _{i=1}^{\infty}C_{i}^{2}<\infty$ $H$ $tu$ $C_{i}=\left(u,\phi _{i}\right)$ ${\left\Vert u\right\Vert }^{2}=\sum_{i=1}^{\infty }{\left(u,\phi_{i}\right)}^{2}$
Los espacios de Hilbert generan espacios fuertemente normados .

Ejemplos

El ejemplo básico es el espacio euclidiano .

El espacio de las sucesiones sumables al cuadrado : sus puntos son sucesiones infinitas de números reales para los cuales la serie converge , el producto escalar en ella viene dado por la igualdad: $\ell ^{2}$ $x=\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ $\sum _{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{2}$

(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}y_{n}

El espacio $L^{2}[a,b]$ de funciones medibles con valores reales en un intervalo con cuadrados integrables de Lebesgue , es decir, tal que la integral $[a,b]$

\int \limites _{a}^{b}\!|f|^{2}\,dx

es definido y finito, además, las funciones que difieren entre sí en un conjunto de medida cero se identifican entre sí (es decir, formalmente hay un conjunto correspondiente de clases de equivalencia). El producto escalar en este espacio viene dado por la igualdad: $L^{2}[a,b]$

(f,g)=\int \limits _{a}^{b}\!f{g}\,dx

Para espacios y sobre el campo de números complejos, secuencias de números complejos y funciones de valores complejos, la definición del producto escalar difiere solo en la conjugación compleja del segundo factor: $\ell ^{2}$ $L^{2}[a,b]$

(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}{\overline {y}}_{n}

;

(f,g)=\int \limits _{a}^{b}\!f{\overline {g}}\,dx

Notas

↑ Espacio de Hilbert // Diccionario enciclopédico matemático / capítulos. edición Prokhorov Yu. V. - M., Enciclopedia soviética , 1988. - p. 152-153
↑ Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. — M.: Fizmatlit, 1961. — C. 181
↑ Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. - M.: Fizmatlit, 1961. - C. 253
↑ Konstantinov R. V. Conferencias sobre análisis funcional. — M.: MFTI, 2009. — Pág. 129
↑ Reid, M., Simon, B. Métodos de la física matemática moderna. Tomo 1. Análisis funcional. - M.: Mir, 1977. - C. 82

Literatura

Halmosh P. , Hilbert espacio en problemas / Per. De inglés. I. D. Novikov y T. V. Sokolovskaya; edición R. A. Minlos. — M.: Mir, 1970. — 352 p.
Métodos espaciales de Moren K. Hilbert. — M.: Mir, 1965. — 570 p.

La contribución de David Hilbert a la ciencia
espacios	Espacio de Hilbert Espacio pre-Hilbert ladrillo gilberto
axiomática	axiomática de hilbert
teoremas	Teorema de Hilbert 90 Teorema de la base de Hilbert Teorema nulo de Hilbert Teorema de Hilbert-Schmidt
Operadores	Transformada de Hilbert Operador de Hilbert-Schmidt
relatividad general	Ecuaciones de Einstein-Hilbert " Hilbert y las ecuaciones del campo gravitatorio "
Otro	problemas de hilbert curva de hilbert Matriz de Hilbert Problema de Hilbert-Arnold Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert Paradoja "Gran Hotel"

Derivados de la letra latina H, h
Letras	S.S S.S S.S Ƕƕ Ȟȟ S.S S.S S.S S.S S.S S.S Ⱨⱨ Ɥɥ ɥ̊ Ɦɦ ɧ Ꜧꜧ ʜ ʮ ʯ Ⱶⱶ Ꟶꟶ ꞕ S.S S.S S.S S.S ᵺ S.S S.S S.S
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