Teorema de convergencia de Kolmogorov-Khinchin

El teorema de convergencia de Kolmogorov - Khinchin en la teoría de la probabilidad define un criterio de convergencia con probabilidad uno para una serie infinita de variables aleatorias y puede usarse para demostrar el teorema de las dos series de Kolmogorov

Enunciado del teorema

Supondremos que la secuencia de variables aleatorias independientes, y es el conjunto de aquellos resultados elementales donde la serie converge a un límite finito. ${\ estilo de visualización \ xi _ {1}, \ xi _ {2} ...}$ ${\displaystyle S_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{n))$ $A$ $\omega$ ${\ estilo de visualización \ suma \ xi _ {n} (\ omega)}$

Primera parte

deja _ Entonces, si , entonces la serie converge con probabilidad uno. $M\xi _{n}=0,n\geqslant 1$ $\sum M\xi _{n}^{2}<\infty$ ${\ estilo de visualización \ suma \ xi _ {n}}$

Segunda parte

Si, además, las variables aleatorias están uniformemente acotadas: , entonces lo contrario también es cierto: la primera parte de la serie se sigue de la convergencia con probabilidad uno. ${\ estilo de visualización \ xi _ {n}, n \ geqslant 1}$ $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,c<\infty$ ${\ estilo de visualización \ suma \ xi _ {n}}$

Prueba

Primera parte

La secuencia , converge con probabilidad uno si y solo si esta secuencia es fundamental con probabilidad uno [1] , es decir ${\ estilo de visualización (S_ {n}), n \ geqslant 1}$

P\{\sup_{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty

(una)

Debido a la desigualdad de Kolmogorov :

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=\lim _{n\rightarrow \infty }P\{\max _ {1\leqslant k\leqslant N}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\leqslant \lim_{N\rightarrow \infty }{\frac {\sum_{k =n}^{n+N}M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}={\frac {\sum _{k=n}^{\infty }M\ xi _{k}^{2}}{\varepsilon^{2}}}

Por lo tanto, si , entonces se cumple la condición 1 , por lo tanto, la serie converge con probabilidad uno. $\sum _{k=1}^{\infty}M\xi _{k}^{2}<\infty$ ${\ estilo de visualización \ suma \ xi _ {k}}$

Segunda parte

Deja que la serie converja. Entonces, por la condición 1 , para suficientemente grande : ${\ estilo de visualización \ suma \ xi _ {k}}$ $norte$

P\{\sup_{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}<{\frac {1}{2))

(2)

Debido a la desigualdad de Kolmogorov . ${\displaystyle P\{\sup_{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\geqslant 1-{\frac {(c+\varepsilon)^{2 )){\sum _{k=n}^{\infty}M\xi _{k}^{2))))$

Por lo tanto, si asumimos que , entonces obtenemos $\sum _{k=1}^{\infty}M\xi _{k}^{2}=\infty$

$P\{\sup_{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=1$ , que contradice la desigualdad 2 . ${\ estilo de visualización}$

Notas

↑ Shiryaev, 2004 , pág. 370.

Literatura

Shiryaev A. N. Probabilidad. - 3ª ed., revisada. y adicional .. - M . : MTSNMO , 2004. (Capítulo 4 § 2 sección 1)