Teorema de Kronecker-Cappelli

El teorema de Kronecker-Capelli es un criterio para la compatibilidad de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales:

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es consistente si y solo si el rango de su matriz principal es igual al rango de su matriz extendida.

Para que un sistema lineal sea compatible , es necesario y suficiente que el rango de la matriz extendida de ese sistema sea igual al rango de su matriz principal . Comprobado por Leopold Kronecker, Alfredo Capelli .

Explicaciones

El sistema de ecuaciones es solucionable si y solo si , donde es la matriz aumentada que se obtiene de la matriz asignando la columna [1] . $Ax=B$ $\operatorname {sonó} A=\operatorname {sonó} (A|B)$ ${\ estilo de visualización (A | B)}$ $A$ $B$

Prueba (condiciones de compatibilidad del sistema)

Necesidad

Que el sistema sea consistente. Entonces hay números tales que . Por lo tanto, la columna es una combinación lineal de las columnas de la matriz . Del hecho de que el rango de una matriz no cambia si se elimina una fila (columna) del sistema de sus filas (columnas) o se asigna una fila (columna), que es una combinación lineal de otras filas (columnas), se sigue que . $x_{1},\puntos,x_{n}\in {\mathbb R}$ $b=x_{1}a_{1}+\puntos +x_{n}a_{n}$ $b$ $a_1,\puntos,a_n$ $A$ $\operatorname {sonó} A=\operatorname {sonó} A|B$

Suficiencia

deja _ Tomemos algunos menores básicos en la matriz . Ya que, entonces también será la base menor de la matriz . Entonces, según el teorema menor de la base , la última columna de la matriz será una combinación lineal de las columnas de la base, es decir, las columnas de la matriz . Por lo tanto, la columna de miembros libres del sistema es una combinación lineal de las columnas de la matriz . $\operatorname {sonó} A=\operatorname {sonó} A|B=r$ $A$ $\operatorname {sonó} A|B=r$ ${\ estilo de visualización A | B}$ ${\ estilo de visualización A | B}$ $A$ $A$

Consecuencias

El número de variables principales del sistema es igual al rango del sistema.
Se definirá un sistema consistente (su solución es única) si el rango del sistema es igual al número de todas sus variables.

Véase también

Notas

↑ Problemas y teoremas de álgebra lineal, 1996 , p. sesenta y cinco.

Literatura

V. A. Ilyin, G. D. Kim Linear Algebra and Analytic Geometry, Moscú: TK Velbi, Prospekt Publishing House, 2007, 400 págs.
Prasolov VV Problemas y teoremas de álgebra lineal. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .