Sistema de ecuaciones algebraicas lineales

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Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales ( sistema lineal , también se utilizan las abreviaturas SLAE , SLUE ) es un sistema de ecuaciones en el que cada ecuación es una ecuación algebraica lineal de primer grado .

En la versión clásica, los coeficientes en las variables, los términos libres y las incógnitas se consideran números reales , pero todos los métodos y resultados se conservan (o se generalizan naturalmente) para el caso de cualquier campo , por ejemplo, números complejos .

La resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales es uno de los problemas clásicos del álgebra lineal , que determinó en gran medida sus objetos y métodos. Además, las ecuaciones algebraicas lineales y los métodos para resolverlas juegan un papel importante en muchas áreas aplicadas , incluida la programación lineal , la econometría .

Se puede generalizar al caso de un conjunto infinito de incógnitas .

Convenciones y definiciones

Vista general del sistema de ecuaciones algebraicas lineales:

{\begin{casos}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_ {1}+a_{22}x_{2}+\puntos +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\puntos \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{ 2}+\puntos +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{casos}}

Aquí está el número de ecuaciones, y es el número de variables, son las incógnitas que se determinarán, se supone que se conocen los coeficientes y los términos libres . Los índices de coeficientes en sistemas de ecuaciones lineales ( ) se forman de acuerdo con la siguiente convención: el primer índice ( ) denota el número de la ecuación, el segundo ( ) es el número de la variable en la que se encuentra este coeficiente [1] . $metro$ $norte$ $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}$ ${\displaystyle a_{11},a_{12},\dots,a_{mn))$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},\puntos,b_{m))$ $a_{{ij}}$ $i$ $j$

Un sistema se llama homogéneo si todos sus miembros libres son iguales a cero ( ), en caso contrario es heterogéneo . $b_{1}=b_{2}=\puntos =b_{m}=0$

Un sistema cuadrático de ecuaciones lineales es un sistema en el que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas (). Un sistema en el que el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones está subdeterminado , tales sistemas de ecuaciones algebraicas lineales también se denominan rectangulares . Si hay más ecuaciones que incógnitas, entonces el sistema está sobredeterminado . $m=n$

La solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es un conjunto de números tales que su correspondiente sustitución en lugar de en el sistema convierte todas sus ecuaciones en identidades . $norte$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\puntos,c_{n))$ $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}$

Un sistema se llama compatible si tiene al menos una solución e inconsistente si no tiene soluciones. Las soluciones se consideran diferentes si al menos uno de los valores de las variables no coincide. Un sistema conjunto con una sola solución se llama definido , si hay más de una solución, indeterminado .

Forma matricial

El sistema de ecuaciones algebraicas lineales se puede representar en forma matricial como:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

hacha = b

Aquí , es la matriz del sistema, es la columna de incógnitas y es la columna de términos libres. Si se asigna una columna de términos libres a la matriz de la derecha, la matriz resultante se denomina matriz extendida. $A$ $X$ $b$ $A$

El teorema de Kronecker-Capelli establece una condición necesaria y suficiente para la compatibilidad de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales a través de las propiedades de las representaciones matriciales: el sistema es consistente si y solo si el rango de su matriz coincide con el rango de la matriz extendida.

Sistemas equivalentes de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales se denominan equivalentes si el conjunto de sus soluciones es el mismo, es decir, cualquier solución de un sistema es también solución de otro, y viceversa. También se supone que los sistemas sin soluciones son equivalentes.

Se puede obtener un sistema equivalente a uno dado, en particular, reemplazando una de las ecuaciones con esta ecuación multiplicada por cualquier número distinto de cero. También se puede obtener un sistema equivalente reemplazando una de las ecuaciones por la suma de esta ecuación con otra ecuación del sistema. En general, reemplazar la ecuación de un sistema con una combinación lineal de ecuaciones da como resultado un sistema equivalente al original.

El sistema de ecuaciones algebraicas lineales es equivalente al sistema , donde es una matriz no singular . En particular, si la matriz en sí misma no es singular y existe una matriz inversa para ella , entonces la solución del sistema de ecuaciones se puede escribir formalmente como . $A\mathbf {x} \ =\mathbf {b}$ $CA\mathbf {x} \ =C\mathbf {b}$ $C$ $A$ $A^{-1}$ $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b}$

Métodos de solución

Los métodos directos dan un algoritmo mediante el cual se puede encontrar la solución exacta de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Los métodos iterativos se basan en el uso de un proceso iterativo y permiten obtener una solución como resultado de aproximaciones sucesivas.

Algunos métodos directos:

método de Gauss
Método de Gauss-Jordan
método Cramer
método matricial
Método de barrido (para matrices tridiagonales )
Descomposición de Cholesky o método de la raíz cuadrada (para matrices hermitianas y simétricas definidas positivas )

Los métodos iterativos establecen un procedimiento para refinar una determinada aproximación inicial a una solución. Cuando se cumplen las condiciones de convergencia, permiten lograr cualquier precisión simplemente repitiendo iteraciones. La ventaja de estos métodos es que a menudo logran una solución con una precisión predeterminada más rápidamente y también le permiten resolver grandes sistemas de ecuaciones. La esencia de estos métodos es encontrar el punto fijo de la ecuación matricial

{\displaystyle \mathbf {x} =A^{\prime }\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\prime ))

equivalente al sistema inicial de ecuaciones algebraicas lineales. Al iterar en el lado derecho de la ecuación, por ejemplo, en el método de Jacobi (método de iteración simple) se reemplaza la aproximación encontrada en el paso anterior: ${\ estilo de visualización \ matemáticas {x}}$

{\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=A^{\prime }\mathbf {x} _{n}+\mathbf {b} ^{\prime ))

Los métodos iterativos se dividen en varios tipos, dependiendo del enfoque utilizado:

Basado en división: $(MN)\mathbf {x} =\mathbf {b} \Leftrightarrow M\mathbf {x} =N\mathbf {x} +\mathbf {b} \Rightarrow M\mathbf {x} ^{n+ 1 }=N\mathbf {x} ^{n}+\mathbf {b}$
Tipo de variación: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|\rightarrow \min$
Tipo de proyección: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow (A\mathbf {x} ,\mathbf {m} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {m} )\forall \mathbf { m}$

Entre los métodos iterativos:

Método de Jacobi ( método de iteración simple )
Método de Gauss-Seidel
método de relajación
método multired
metodo montante
Método de Abramov (adecuado para resolver pequeños SLAE)
Método de residuos mínimos generalizados
Método de gradiente biconjugado
Método de gradiente biconjugado estabilizado
Método cuadrático de gradientes biconjugados
Método de Residuos Cuasi-Mínimos ( QMR )
Método de rotación [2]

Notas

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Álgebra lineal: Libro de texto para universidades. - 6ª ed., borrada. — M.: Fizmatlit, 2004. — 280 p.
↑ Verzhbitsky V. M. Fundamentos de los métodos numéricos. - M. : Escuela Superior , 2009. - S. 80-84. — 840 págs. — ISBN 9785060061239 .

Enlaces

Kuksenko SP, Gazizov TR Métodos iterativos para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales con una matriz densa. - Tomsk: Universidad Estatal de Tomsk , 2007. - 208 p. - ISBN 5-94621-226-5 .
Forsythe J., Moler K. Solución numérica de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. - Moscú: Mir , 1969. - 166 p.

Métodos para resolver SLAE
Métodos directos	método matricial método de Gauss Método de Gauss-Jordan método Cramer descomposición LU Descomposición de Cholesky método de barrido
Métodos iterativos	método jacobi Método de Gauss-Seidel método de iteración método de relajación método de gradiente conjugado Método de gradiente biconjugado Método de gradiente biconjugado estabilizado
General	matriz inversa Métodos de proyección para resolver SLAE preacondicionamiento

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro