Teorema de laplace

El teorema de Laplace es uno de los teoremas del álgebra lineal . Lleva el nombre del matemático francés Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827), a quien se le atribuye la formulación de este teorema en 1772 [1] , aunque un caso especial de este teorema sobre la expansión del determinante en una fila (columna) fue conocido incluso por Leibniz .

Redacción

Primero, introduzcamos algunas definiciones.

Sea una matriz de tamaño , y escoja cualquier fila de la matriz con números y cualquier columna con números . $A=(a_{{ij}})$ $n\veces n$ $k$ $A$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k))$ $k$ ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k))$

El determinante de la matriz que se obtiene al eliminar todas las filas y columnas, excepto las seleccionadas, se denomina menor de orden -ésimo, ubicado en filas con números y columnas con números . Se denota de la siguiente manera: $A$ $k$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots,i_{k))$ ${\displaystyle j_{1},j_{2},\ldots,j_{k))$

M_{j_{1},\ldots,j_{k}}^{i_{1},\ldots,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{ 1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_ {1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.

Y el determinante de la matriz obtenido al eliminar solo las filas y columnas seleccionadas de la matriz cuadrada se llama el menor adicional al menor : $M_{j_{1},\ldots,j_{k}}^{i_{1},\ldots,i_{k}}$

{\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots,i_{k}}=\det {\begin {pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_ {n}}\end{matrix}},

donde y son los números de filas y columnas no seleccionadas. ${\displaystyle i_{k+1}<\ldots <i_{n))$ ${\displaystyle j_{k+1}<\ldots <j_{n))$

El complemento algebraico de un menor se define de la siguiente manera: $M_{j_{1},\ldots,j_{k}}^{i_{1},\ldots,i_{k}}$

A_{j_{1},\ldots,j_{k}}^{i_{1},\ldots,i_{k}}=(-1)^{p+q}{\overline {M} }_{\,j_{1},\ldots,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots,i_{k}}

donde , . ${\displaystyle p=i_{1}+\ldots +i_{k))$ ${\displaystyle q=j_{1}+\ldots +j_{k))$

La siguiente afirmación es verdadera.

teorema de laplace

Deje que se elija cualquier fila de la matriz . Entonces el determinante de la matriz es igual a la suma de todos los posibles productos de los menores de orden th ubicados en estas filas y sus complementos algebraicos.

k

A

A

k

\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots,j_{k}}^{i_{1},\ldots,i_ {k}}A_{j_{1},\ldots,j_{k}}^{i_{1},\ldots,i_{k}},

donde la suma se lleva a cabo sobre todos los números de columna posibles

j_{1},\ldots,j_{k}.

El número de menores sobre los que se toma la suma en el teorema de Laplace es igual al número de formas de elegir columnas de , es decir, el coeficiente binomial . $k$ $norte$ ${\displaystyle \textstyle {n \elegir k))$

Dado que las filas y columnas de una matriz son equivalentes con respecto a las propiedades del determinante, el teorema de Laplace también se puede formular para las columnas de una matriz.

Ejemplos

Considere una matriz cuadrada

A={\begin{bmatrix}5&9&1&3\\3&5&0&0\\67&932&1&2\\1&7&0&0\end{bmatrix)).

Elegimos las filas segunda y cuarta y desarrollamos el determinante de esta matriz usando el teorema de Laplace. Tenga en cuenta que en estas filas todos los menores de segundo orden, excepto , contienen cero columnas, es decir, se sabe que son cero y no afectan la suma en el teorema. Entonces el determinante será: ${\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}$

|A|=(-1)^{2+4+1+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\ 1&2\end{vmatriz}}=(-1)\cdot 16\cdot (-1)=16

Del ejemplo anterior, se puede ver que el teorema de Laplace simplifica el cálculo de los determinantes no de todas las matrices, sino solo de las matrices de una forma especial. Por lo tanto, en la práctica, se utilizan con mayor frecuencia otros métodos, por ejemplo, el método de Gauss . El teorema se aplica más a los estudios teóricos.

Fila (columna) expansión del determinante (Corolario 1)

Un caso especial del teorema de Laplace es ampliamente conocido: la expansión del determinante en una fila o columna. Permite representar el determinante de una matriz cuadrada como la suma de los productos de los elementos de cualquiera de sus filas o columnas y sus complementos algebraicos .

Sea una matriz cuadrada de tamaño . Deje también algún número de fila o número de columna de la matriz . Entonces el determinante se puede calcular usando las siguientes fórmulas: $A=(a_{ij})$ $n\veces n$ $i$ $j$ $A$ $A$

Descomposición en la -ésima línea $i$ :

{\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij))

Descomposición por la columna th $j$ :

{\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij))

donde es el complemento algebraico del menor ubicado en la fila con el número y la columna con el número . también llamado complemento de elemento algebraico . $A_{{ij}}$ $i$ $j$ $A_{{ij}}$ $a_{{ij}}$

El enunciado es un caso especial del teorema de Laplace. Basta con establecerlo igual a 1 y seleccionar la -ésima fila, luego los menores ubicados en esta fila serán los elementos mismos. $k$ $i$

Ejemplos

Considere una matriz cuadrada

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.

Expandamos el determinante por los elementos de la primera fila de la matriz:

|A|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.

(Tenga en cuenta que el complemento algebraico del segundo elemento de la primera fila tiene un signo negativo).

Además, el determinante se puede expandir, por ejemplo, por los elementos de la segunda columna:

|A|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\ cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.

Corolario 2 (falsa expansión del determinante)

La suma de los productos de todos los elementos de alguna fila (columna) de la matriz y los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de cualquier otra fila (columna) es igual a cero. $A$

Prueba

Considere la suma de los productos de todos los elementos de una -ésima fila arbitraria de la matriz y los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de cualquier otra, digamos, -ésima fila de la matriz . Sea una matriz en la que todas las filas, excepto la -ésima fila, son las mismas que las de la matriz , y los elementos de la -ésima fila de la matriz son los elementos correspondientes de la -ésima fila de la matriz . Entonces la matriz tiene dos filas idénticas y, por tanto, por la propiedad de la matriz sobre filas idénticas, tenemos que . Por otro lado, por el Corolario 1, el determinante es igual a la suma de los productos de todos los elementos de la i-ésima fila de la matriz y sus complementos algebraicos. Nótese que los complementos algebraicos de los elementos de la fila -ésima de la matriz coinciden con los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la fila -ésima de la matriz . Pero los elementos de la -ésima fila de la matriz son los elementos correspondientes de la -ésima fila de la matriz . Así, la suma de los productos de todos los elementos de la -ésima fila de la matriz y sus complementos algebraicos, por un lado, es igual a cero, y por otro lado, es igual a la suma de los productos de todos elementos de la fila -ésima de la matriz y los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la fila -ésima de la matriz . $k$ $A$ $i$ $A$ $A'$ $i$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $A'$ $\det A'=0$ ${\ estilo de visualización \ det A'}$ $i$ $A'$ $i$ $A'$ $i$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $i$ $A$

Notas

↑ Smith, DE Project Gutenberg's History of Modern Mathematics . — P. 18. Archivado el 16 de septiembre de 2009 en Wayback Machine .

Literatura

Ilyin, V. A. , Poznyak, E. G. Álgebra lineal . - 6ª ed. - M. : Fizmatlit, 2005. - S. 25 -27. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Prasolov, VV Problemas y teoremas de álgebra lineal . - 2ª ed. - M. , 2008. - S. 42-45.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. — M .: Fizmatlit , 2009. — S. 374-376.