Teorema de mentira

El teorema de Lie es un teorema de representación para álgebras de Lie resolubles .

Redacción

Sea una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie solucionable sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Entonces tiene una bandera de subespacio invariable ; es decir, para each y i . $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ ${\ estilo de visualización \ pi ({\ mathfrak {g}})}$ $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\operatorname {codim} V_{i}=i$ ${\ estilo de visualización \ pi (X) V_ {i} \ subconjunto V_ {i}}$ $X\in {\mathfrak{g))$

Notas

En otras palabras, el teorema establece que se puede elegir una base tal que todas las transformaciones lineales estén dadas por matrices triangulares superiores. $V$ ${\ estilo de visualización \ pi ({\ mathfrak {g}})}$
- Esta afirmación generaliza el resultado de Frobenius de que las matrices conmutativas admiten triangulación simultánea .

El teorema no se cumple para campos algebraicamente cerrados de característica distinta de cero. Sin embargo, la afirmación de los teoremas se vuelve verdadera si la dimensión es menor que la característica del campo. $V$

Consecuencias

El teorema se aplica a la representación adjunta de un álgebra de Lie resoluble (de dimensión finita) . Así, se puede elegir una base en , con respecto a la cual consta de matrices triangulares superiores. $\operatorname {anuncio} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $\operatorname {anuncio} ({\mathfrak {g}})$
- De esto se sigue que para cualquier , tiene una diagonal cero; significa nilpotente. Según el teorema de Engel , esto significa que es un álgebra de Lie nilpotente; lo contrario es obviamente cierto. Es decir, un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica cero es decidible si y solo si el álgebra derivada es nilpotente. $x,y\in {\mathfrak{g}}$ $\operatorname {anuncio} ([x,y])=[\operatorname {anuncio} (x),\operatorname {anuncio} (y)]$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {anuncio} ([x, y])}$ $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $\matemáticas g$ $D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$

Notas

Véase también

El teorema de Engel es un teorema similar sobre álgebras de Lie nilpotentes.
El teorema de Lie-Kolchin es un teorema similar sobre grupos algebraicos solubles.