Representación afiliada del grupo Lie

Una representación adjunta de un grupo de Lie es una representación lineal de un grupo de Lie en su álgebra de Lie . Usualmente denotado . $\operatorname {Anuncio}$

Definición

Sea un grupo de Mentira . El espacio tangente a la identidad de un grupo es su álgebra de Lie . Para cada elemento , considere el diferencial $GRAMO$ $T_{e}G$ $\matemáticas g$ $a \ en G$

{\displaystyle \operatorname {Anuncio} _{a}=d(\operatorname {Int} _{a})_{e))

automorfismo interno

\operatorname {Int} _{a}:x\mapsto axa^{-1}.

La acción resultante se denomina vista adjunta. $\operatorname {Anuncio} \colon G\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g)))$

Notas

Si es un grupo lineal en el espacio , entonces $G\subconjunto GL(V)$ $V$ $\operatorname {Anuncio} _{a}X=aXa^{-1},$

El diferencial de la representación adjunta de un grupo en la identidad es la representación adjunta de su álgebra de Lie .

GRAMO

La imagen de un grupo de Lie bajo la representación adjunta se denomina grupo adjunto del grupo y se denota por . $GRAMO$ $GRAMO$ $\operatorname {Anuncio} G$

Propiedades

El núcleo contiene el centro del grupo . $\operatorname {Ker} \operatorname {Anuncio}$ $GRAMO$
- Además, en el caso de que
esté conectado y el campo principal tenga la característica , coincide con el centro. $GRAMO$ ${\ estilo de visualización 0}$

Un grupo de Lie semisimple conexo es isomorfo a su grupo adjunto si y sólo si sus raíces generan el grupo de caracteres racionales de un toro máximo ; el centro de tal grupo es trivial.

Si el campo de tierra tiene la característica 0 y está conectado , entonces está determinado únicamente por el álgebra de Lie y, a veces, se lo denomina grupo adjunto, o grupo de automorfismos internos, del álgebra de Lie .

GRAMO

\operatorname {Anuncio} G

\matemáticas g

\matemáticas g

En particular, si es

semisimple , entonces coincide con la componente conexa de la identidad en .

GRAMO

\operatorname {Anuncio} G

\operatorname {Aut} {\mathfrak {g}}

Véase también

Representación coadjunta

Literatura

Vinberg E. B., Onishchik A. L. Fundamentos de la teoría de grupos de Lie . - M. : VINITI , 1988. - S. 5-101. - (Resultados de la ciencia y la tecnología. Ser. "Problemas modernos de las matemáticas. Tendencias fundamentales". Vol. 20).