Teorema de Lindemann-Weierstrass

El teorema de Lindemann-Weierstrass , que es una generalización del teorema de Lindemann, demuestra la trascendencia de una gran clase de números. El teorema establece lo siguiente [1] :

Si son diferentes números algebraicos que son linealmente independientes sobre , entonces son algebraicamente independientes sobre , es decir, el grado de trascendencia de la extensión es $\alpha _{1},\alpha _{2},\puntos \alpha _{n}$ $\matemáticas {Q}$ $e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}}$ $\matemáticas {Q}$ ${\mathbb {Q}}(e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}})$ $norte$

A menudo se utiliza otra formulación equivalente [2] :

Para cualquier número algebraico distinto, los números son linealmente independientes sobre el campo de los números algebraicos . $\alpha _{1},\alpha _{2},\puntos \alpha _{n}$ $e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}}$ $\overline {{\mathbb{Q}}}$

Historia

En 1882 Lindemann demostró que es trascendental para cualquier algebraica distinta de cero [3] , y en 1885 Karl Weierstrass demostró la afirmación más general anterior. $e^{\alfa}$ $\alfa$

La trascendencia de los números e y π se sigue fácilmente del teorema de Lindemann-Weierstrass .

Prueba de la trascendencia de π

Aplicamos el método de prueba por contradicción . Supongamos que el número es algebraico. Entonces el número , donde es la unidad imaginaria , también es algebraico, por tanto, según el teorema de Lindemann-Weierstrass, el número es trascendental, pero según la identidad de Euler, es igual al número algebraico , lo que provoca una contradicción. Por lo tanto, el número es trascendental. $\Pi$ ${\ estilo de visualización i \ pi}$ $i$ ${\ Displaystyle e^{i\pi}}$ $-una$ $\Pi$

Notas

↑ Weisstein, Eric W. Lindemann–Teorema de Weierstrass (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Alan Baker. Teoría de los números trascendentales. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1975. - ISBN 052139791X . . Capítulo 1, Teorema 1.4.
↑ F. Lindemann. Über die Zahl π (alemán) // Mathematische Annalen. — bd. 20 (1882) . - S. 213-225 .

Literatura

Leng S. Álgebra. - Moscú: Mir, 1968. - 564 p.
Shidlovsky A. B. "Aproximaciones diofánticas y números trascendentales" (M. FIZMATLIT, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4