Grado de trascendencia

El grado de trascendencia es el número máximo de elementos algebraicamente independientes en la extensión del campo . El grado de trascendencia permite medir la magnitud de la expansión.

Definición

Sea una extensión de un campo a un campo Considere todos los posibles subconjuntos algebraicamente independientes de un campo sobre un campo El grado de trascendencia de una extensión dada se define como la mayor cardinalidad entre tales subconjuntos. ${\ estilo de visualización L/K}$ $k$ $l$ $L$ $k$

Usualmente denotado o $\mathrm {trdeg}_{K}L$ $\mathrm {trdeg} (L/K).$

Notas

Si no hay elementos algebraicamente independientes en el campo extendido , entonces su conjunto está vacío y el grado de trascendencia es igual a cero. Así, el grado de trascendencia cero significa que la extensión dada es algebraica . Si el grado de trascendencia no es cero, entonces hay elementos " trascendentales " (no algebraicos con respecto al campo original). $L$ $L$

Conceptos relacionados

Un subconjunto de se denomina base de trascendencia de una extensión si: $S$ $L$ ${\ estilo de visualización L/K,}$

elementos son algebraicamente independientes sobre $S$ ${\ estilo de visualización K;}$
la base es completa, es decir, es una extensión algebraica del campo obtenido al agregar elementos al campo $L$ ${\ estilo de visualización K (S),}$ $S$ $k$

Se puede demostrar que para cualquier extensión dada del campo existen bases de trascendencia (en la demostración se usa el axioma de elección ), y todas ellas tienen la misma cardinalidad, igual al grado de trascendencia. Las bases de trascendencia son una herramienta útil para probar varios teoremas de existencia sobre homomorfismos de campo .

Se dice que una extensión de campo es puramente trascendental si existe un subconjunto de elementos algebraicamente independientes sobre tales que ${\ estilo de visualización L/K}$ $L$ $S$ $k$ $K(S)=L.$

Ejemplos

Para la extensión del campo de los números racionales al campo de los números reales, el grado de trascendencia es un continuo . Esto se sigue del hecho de que el conjunto de números algebraicos es contable . $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {R}$
El campo de funciones racionales de variables sobre el campo es una extensión puramente trascendental . $norte$ $K(x_{1}\puntos x_{n})$ $k$ $k$ $norte,$ $\{x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}\}.$
El campo es una extensión del campo con grado de trascendencia 1, porque es un número algebraico y es trascendental . $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),\pi )$ $\matemáticas {Q}$ ${\ sqrt 2}$ $\Pi$
El campo es también una extensión del campo , su grado de trascendencia no está definido (ni 1 ni 2), ya que no se sabe si las constantes y son algebraicamente independientes. ${\ estilo de visualización \ mathbb {Q} (\ pi, e)}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Q},}$ $\Pi$ $mi$

Propiedades

Si tenemos una doble extensión del campo: entonces el grado de trascendencia es igual a la suma (teórica de conjuntos) de los grados de trascendencia y La base de trascendencia se obtiene combinando las bases de trascendencia para y $M\supset L\supset K,$ ${\ estilo de visualización M/K}$ ${\ estilo de visualización L/K}$ ${\ estilo de visualización M/L.}$ ${\ estilo de visualización M/K}$ ${\ estilo de visualización L/K}$ ${\ estilo de visualización M/L.}$

Literatura

Bourbaki N. Álgebra. Polinomios y campos. Grupos ordenados. Moscú: Nauka, 1965.
Van der Waerden . Álgebra. Definiciones, teoremas, fórmulas . - San Petersburgo. : Lan, 2004. - 624 p. — ISBN 5-8114-0552-9 . Archivadoel 4 de marzo de 2016 enWayback Machine
Zarissky O. , Samuel P. Álgebra conmutativa, Volumen 1. M: Literatura extranjera, 1963.
Leng S. Álgebra. M: Mir, 1967.

Enlaces

Kuzmin L. V. Extensión trascendental