Teorema de luzin
El teorema de Luzin es un enunciado sobre las condiciones necesarias y suficientes para la mensurabilidad de una función de una variable real o compleja . De acuerdo con este teorema, cada función medible en un segmento no es más que una función continua distorsionada en algún conjunto de medidas arbitrariamente pequeñas . Esta declaración también se conoce como -property .
![{\ estilo de visualización \ izquierda [a, b \ derecha]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30926fb280a9fdf66fd931e14d4363cb824feaa)
Redacción
Para que una función definida en el intervalo sea medible, es necesario y suficiente que tenga la llamada propiedad : para cualquiera hay una función continua en el intervalo tal que la medida del conjunto es menor que .
![{\ estilo de visualización \ {x \ en [a, b]: f (x) \ neq \ varphi (x) \))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22210667621bbbb75572fab3f5b9ba8ef69ff58)
Prueba
La prueba en una forma accesible para los principiantes está en el libro [1] . Además, el teorema de Luzin se deriva fácilmente del teorema de Egorov [2] . En este teorema, un número arbitrariamente pequeño no puede ser reemplazado por cero (se viola la necesidad).
Historial de descubrimientos
Notas
- ↑ Sobolev V.I. , Conferencias sobre capítulos adicionales de análisis matemático. - M .: Nauka, 1968 - página 135.
- ↑ Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. , Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - cap. V, apartado 4.7.
Literatura
- Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. cuarto, revisado. — M .: Nauka , 1976. — 544 p.
- Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. - 2do. — M .: Fizmatlit , 1961. — 436 p.
- Bogachev VI , Sobre la historia del descubrimiento de los teoremas de Egorov y Luzin . - Investigaciones históricas y matemáticas , vol. 48 (13), 2009.