Teorema de miquel

El teorema de Miquel es un enunciado en planimetría relacionado con la intersección de tres círculos construidos alrededor de los vértices de un triángulo. Nombrado en honor al matemático francés Auguste Miquel [1] . Este teorema es uno de varios resultados sobre círculos en geometría obtenidos por Michele y publicados por él en el Journal de mathématiques pures et appliquées .

Redacción

Sea un triángulo con puntos arbitrarios , y respectivamente en los lados , y (o en sus extensiones). Describimos tres círculos alrededor de los triángulos , y el teorema de Miquel establece que estos tres círculos se cortarán en un punto , llamado punto de Miquel . Además, tres ángulos serán iguales entre sí (marcados en la figura). [2] [3] $A B C$ $A'$ $B'$ ${\ estilo de visualización C'}$ ${\ estilo de visualización BC}$ ${\ estilo de visualización AC}$ ${\ estilo de visualización AB}$ $AB'C'$ $A'BC'$ ${\ estilo de visualización A'B'C.}$ ${\ estilo de visualización M}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo MA'B, \ ángulo MB'C, \ ángulo MC'A}$

Caso especial

Si el punto de Mikel es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, y los diámetros de las tres circunferencias de Mikel son iguales al radio de la circunferencia circunscrita al triángulo, y cada una de las tres circunferencias de Mikel pasa por un punto común para ellas, el centro de la círculo circunscrito, y también por dos proyecciones de este centro sobre los lados del triángulo y por uno de los tres vértices, entonces los radios de los tres círculos de Miquel son iguales.

Véase también

Punto de Mikel - otro resultado de Mikel

Notas

↑ Ostermann y Wanner (2012) , pág. 94.
^ Miquel, Auguste (1838), Mémoire de Géométrie , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées Vol. 1: 485–487 , < http://mathdoc.emath.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1838_1_3 > Archivado el 13 de febrero Año 2013.
↑ Wells, 1991 , pág. 184 - Wells se refiere al teorema de Miquel como el teorema del pivote

Literatura

Coxeter, HSM & Greitzer, SL (1967), Geometry Revisited , vol. 19, Nueva Biblioteca Matemática , Washington, DC : Asociación Matemática de América , ISBN 978-0-88385-619-2
Forder, HG (1960), Geometría , Londres: Hutchinson
Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometría por su historia , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988), Geometría / Un curso completo , Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Geometrías modernas (5.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , Nueva York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6