Circulo

Un círculo es una curva plana cerrada , que consta de todos los puntos en el plano equidistantes de un punto dado que se encuentran en el mismo plano que la curva [1] : este punto se llama el centro del círculo . El segmento que conecta el centro con cualquier punto del círculo se llama radio ; el radio también se llama la longitud de este segmento. El círculo divide el plano en dos partes [2] : interna finita e infinita externa. El interior de un círculo se llama círculo ; puntos límite (es decir, el círculo mismo), dependiendo del enfoque, el círculo puede incluir o no.

La construcción práctica de un círculo es posible con un compás .

Un círculo de radio cero (un círculo degenerado) es un punto; además, este caso está excluido de la consideración, a menos que se especifique lo contrario.

Un círculo se llama unidad si su radio es igual a uno. El círculo unitario es uno de los objetos básicos de la trigonometría .

De ahora en adelante, la letra denota el radio del círculo. $R$

Cuerdas, arcos y tangentes

1 - secante , 2 - cuerda AB (marcada en rojo), 3 - segmento (marcado en verde), 4 - arco
Sectores circulares

Una línea recta no puede tener más de dos puntos en común con un círculo.

Una línea que corta a un círculo en dos puntos diferentes se llama secante . Un segmento secante ubicado dentro de un círculo se llama cuerda . La cuerda que pasa por el centro del círculo se llama diámetro ; el mismo término se utiliza para su longitud. El diámetro es el doble del radio: divide la circunferencia en dos partes iguales y es por tanto su eje de simetría . El diámetro es mayor que cualquier otra cuerda [3] . ${\ estilo de visualización D = 2R,}$

La cuerda divide el círculo en dos partes, llamadas segmentos del círculo . Dos radios diferentes también dividen el círculo en dos partes, llamadas sectores del círculo (ver imágenes) [3] .

Cualquier dos puntos no coincidentes en el círculo lo dividen en dos partes. Cada una de estas partes se llama arco de círculo . Un arco se llama semicírculo si el segmento que conecta sus extremos es un diámetro.

Para un círculo dado, tienen lugar las siguientes propiedades [3] .

Los acordes equidistantes del centro son iguales. Por el contrario, si dos cuerdas tienen la misma longitud, entonces están a la misma distancia del centro.
Cuerdas iguales corresponden a arcos iguales, y viceversa.

Una línea que tiene exactamente un punto en común con un círculo se llama tangente al círculo, y su punto común se llama punto tangente de la línea y el círculo. Una tangente a un círculo siempre es perpendicular a su radio (y diámetro) dibujado en el punto de contacto. Es decir, el radio es simultáneamente la normal a la circunferencia [4] .

Los segmentos de las tangentes al círculo, trazados desde un punto que no se encuentra en el círculo, son iguales y forman ángulos iguales con la línea que pasa por este punto y el centro del círculo [5] .

Ángulos

El ángulo inscrito θ es igual a la mitad del valor del ángulo central 2 θ basado en el mismo arco (rosa)
Al cálculo de la longitud del arco y la cuerda.

Un ángulo central es un ángulo con un vértice en el centro del círculo. Un ángulo inscrito es un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados intersecan el círculo. Dicen que los ángulos centrales o inscritos se basan en un arco tallado en un círculo por sus rayos, o en una cuerda que subtiende este arco.

El ángulo central puede tomarse como la medida angular del arco sobre el que descansa. El ángulo central formado por un arco de círculo, de igual longitud que el radio, se toma en matemáticas como unidad de medida de los ángulos, y se llama radián .

De la definición del radián se sigue que la longitud de cualquier arco circular está relacionada con el ángulo central , en base a este arco, por una relación simple [6] : en este caso, la longitud de la cuerda que subtiende el mismo arco es igual a Dado que la circunferencia es igual a , al aumentar el ángulo, el valor de su medida en radianes cambia de 0 a $L$ $\ theta$ ${\ estilo de visualización L = R \ theta,}$ $2R\sin {\theta \over 2}<L.$ $2 \ pi R$ $2 \ pi .$

El ángulo exterior para un ángulo inscrito es el ángulo formado por un lado y la continuación del otro lado del ángulo inscrito (el ángulo θ es marrón en la figura). El ángulo externo de un ángulo inscrito es igual al ángulo inscrito basado en la misma cuerda en el otro lado.

El ángulo entre el círculo y la línea es el ángulo entre la línea secante y una de las dos tangentes al círculo en el punto de intersección de la línea y el círculo.

Propiedades de los ángulos inscritos :

Un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central basado en su arco, o complementa la mitad de este ángulo a 180°. Un ángulo inscrito basado en un arco de medio círculo de largo es siempre un ángulo recto (igual a 90°).
Un ángulo inscrito no cambia su valor cuando su vértice se mueve a lo largo del círculo.
Dos ángulos inscritos que subtienden un mismo arco son iguales.

Otras propiedades:

El ángulo entre dos secantes trazadas desde un punto que está fuera del círculo es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos que están entre las secantes.
El ángulo entre las cuerdas que se cortan es igual a la mitad de la suma de las medidas del arco que se encuentra en el ángulo y el arco opuesto a él.
El ángulo entre una tangente y una cuerda que tiene un punto común es igual a la mitad de la medida angular del arco restada por la cuerda.

Propiedades

Desigualdad isoperimétrica : De todas las curvas cerradas de una longitud dada, un círculo limita la región de área máxima.
A través de tres puntos que no se encuentran en la misma línea recta, es posible dibujar un círculo, y además, solo uno.
Se dice que dos círculos se tocan si tienen un único punto en común. El punto de contacto de dos círculos se encuentra en una línea recta que pasa por sus centros.
El teorema de la secante : si se dibuja una secante a través de un punto arbitrario , entonces el producto de las distancias desde este punto hasta los puntos de intersección de la secante con el círculo no depende de la elección de la secante (y es igual a la absoluta). valor del grado del punto con respecto a la circunferencia ). Si un punto se encuentra fuera del círculo, entonces se puede trazar una tangente desde él al círculo. El cuadrado de la longitud del segmento tangente al punto de contacto será igual al mismo valor. $mi$ $mi$

Como caso especial del anterior, cuando dos cuerdas se cortan en un punto arbitrario , se obtienen segmentos cuyo producto de longitudes para una cuerda es igual al producto correspondiente para la otra (ver figura), es decir . $mi$ $AE\cdot EB=CE\cdot ED$

Fórmulas

Circunferencia:

{\ estilo de visualización C = 2 \ pi R = \ pi D}

Radio del círculo:

R={\frac {C}{2\pi}}={\frac{D}{2}}

Diámetro del círculo:

D={\frac {C}{\pi }}=2R

Área de un círculo de radio R :

S=\pi R^{2}={\frac {\pi D^{2}}{4}}

El área del sector , limitada por el ángulo central α , medida en grados, con radio R :

{\displaystyle S=\pi R^{2}{\frac {\alpha }{360^{\circ ))))

Área del segmento , delimitada por un arco de círculo, ángulo central α , cuerda:

S=\pi R^{2}{\frac {\alpha }{360^{\circ }}}-{\frac {R^{2}\sin \alpha }{2}}

Historia

El círculo, junto con la línea recta, es la curva más común en casi todos los ámbitos de la actividad humana. La historia de su investigación y aplicación se remonta a la antigüedad; la invención de la rueda le dio especial importancia a este tema . Los científicos antiguos consideraban las líneas rectas y los círculos como el único ejemplo de curvas "perfectas", por lo tanto, en geometría, solo se consideraban aceptables las construcciones que usaban un compás y una regla , y el movimiento de los planetas se modelaba como una imposición de rotaciones a lo largo de los círculos . La teoría de los círculos está dedicada al tercer libro de " Comienzos " de Euclides .

También en la antigüedad se descubrió que la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro ( número π ) es la misma para todos los círculos. Un tema históricamente importante de siglos de investigación ha sido el refinamiento de esta relación, así como los intentos de resolver el problema de la " cuadratura del círculo " . Más tarde, el desarrollo de la teoría de los círculos condujo a la creación de la trigonometría , la teoría de las oscilaciones y muchas otras ramas de la ciencia y la tecnología prácticamente importantes.

Geometría analítica de círculos

En términos de geometría analítica , un círculo es una curva algebraica plana simple de segundo orden . El círculo es un caso especial de elipse , en el que los semiejes son iguales, y por lo tanto el círculo es una sección cónica .

Coordenadas cartesianas

La ecuación general de un círculo se escribe como:

x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0,

\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R^{2},

dónde

2x_{0}=-A,\;2y_{0}=-B,\;2R={\sqrt {A^{2}+B^{2}-4C)).

El punto es el centro del círculo y es su radio. $\izquierda(x_{0},y_{0}\derecha)$ $R$

Ecuación de un círculo con un radio centrado en el origen : $R$

{\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}=R^{2}.}

La ecuación de un círculo que pasa por puntos que no están en una línea recta (usando el determinante ): $\left(x_{1},y_{1}\derecha),\left(x_{2},y_{2}\derecha),\left(x_{3},y_{3}\derecha),$

{\begin{vmatriz}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{ 2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3 }&1\end{vmatriz}}=0.

Luego, explícitamente, las coordenadas del centro del círculo están determinadas por las fórmulas:

x_{0}=-{\frac {1}{2}}{\frac {y_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3} ^{2}-y_{3}^{2})+y_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1 }^{2})+y_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{ x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}

y_{0}={\frac {1}{2}}{\frac {x_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3}^ {2}-y_{3}^{2})+x_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1} ^{2})+x_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{x_ {1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}

Un círculo también se puede describir usando una ecuación paramétrica :

{\begin{casos}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{casos}),\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi.

En el sistema de coordenadas cartesianas, el círculo no es una función gráfica , pero se puede describir como la unión de las gráficas de las siguientes dos funciones:

y=y_{0}\pm {\sqrt {R^{2}-(x-x_{0})^{2}}}.

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen, las funciones toman la forma:

y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}.

Coordenadas polares

Circunferencia de radio con centro en el punto : $R$ $\left(\rho _{0},\phi _{0}\right)$

\rho ^{2}-2\rho \,\rho _{0}\cos \left(\phi -\phi _{0}\right)+\rho _{0}^{2}=R^{ 2}.

Si las coordenadas polares del centro del círculo, entonces el círculo que pasa por el origen se describe mediante la ecuación: $\rho _{0}=R,\;\phi _{0}=\alfa ,$

\rho (\varphi )=2R\cos \,(\varphi -\alpha ),\;\;\;\alpha -{\frac \pi 2}\leqslant \varphi \leqslant \alpha +{\frac \pi 2}.

Si el centro es el origen de coordenadas, entonces la ecuación se verá como

\rho=R.

Plano complejo

En el plano complejo, el círculo viene dado por la fórmula:

{\ estilo de visualización \ izquierda | z-z_ {0} \ derecha | = R}

o en forma paramétrica

z=z_{0}+Re^{it},\,t\in \mathbb {R} .

Círculos en el espacio

En el espacio, un círculo de radio centrado en un punto se puede definir como el contorno de una sección diametral de una esfera. $R$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}

plano

a\cdot (x-x_{0})+b\cdot (y-y_{0})+c\cdot (z-z_{0})=0

donde son parámetros que no son simultáneamente iguales a cero; es decir, todos los puntos que se encuentran en un círculo dado son soluciones del sistema $a B C$

{\begin{casos}(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2} ,\\a{\cdot }(x-x_{0})+b{\cdot }(y-y_{0})+c{\cdot }(z-z_{0})=0.\end{ casos}}

Por ejemplo, al resolver este sistema, se puede configurar paramétricamente de la siguiente manera: $a=c\neq 0$

{\begin{casos}x=x_{0}+{\dfrac {R}{{\sqrt {a^{2}+c^{2))))}\cdot \!\left(c\cdot \ porque t-{\dfrac {a\cdot b\cdot \sin t}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2))))}\right)\!,\ \[10pt]y=y_{0}+{\dfrac {R\cdot {\sqrt {a^{2}+c^{2)))){{\sqrt {a^{2}+b^{ 2}+c^{2)))))\cdot \sin t,\\[10pt]z=z_{0}-{\dfrac {R}{{\sqrt {a^{2}+c^{ 2}}}}}\cdot \!\left(a\cdot \cos t+{\dfrac {b\cdot c\cdot \sin t}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+ c^{2}}}}}\right)\!,\end{cases}}t\in [0;2\pi ).

Tangentes y normales

La ecuación de una tangente a un círculo en un punto viene dada por la ecuación $\izquierda(x_{1},y_{1}\derecha)$

\left({\frac {A}{2}}+x_{1}\right)x+\left({\frac {B}{2}}+y_{1}\right)y+\left({\frac {A}{2}}x_{1}+{\frac {B}{2}}y_{1}+C\right)=0.

La ecuación normal en el mismo punto se puede escribir como

{\frac {x-x_{1}}{2x_{1}+A}}={\frac {y-y_{1}}{2y_{1}+B}}.

Círculos concéntricos

Los círculos que tienen un centro común pero diferentes radios se llaman concéntricos . Dos círculos dados por las ecuaciones:

x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\;\;\;x^{2}+y^{2}+A_ {2}x+B_{2}y+C_{2}=0

son concéntricos si y sólo si y $A_{1}=A_{2}$ $B_{1}=B_{2}.$

Información adicional

Definición de triángulos para un círculo

Se dice que un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia (A,B,C) si sus tres vértices A , B y C pertenecen a esta circunferencia. En este caso, la circunferencia se denomina circunferencia circunscrita del triángulo ABC (Ver circunferencia circunscrita ).
Una tangente a una circunferencia trazada por cualquier vértice de un triángulo inscrito en él es antiparalela al lado del triángulo opuesto al vértice dado.
Se dice que un triángulo ABC está circunscrito a una circunferencia (A',B',C') si sus tres lados AB , BC y CA tocan esta circunferencia en algunos puntos C' , A' y B' respectivamente . En este caso, el círculo se llama el círculo inscrito del triángulo ABC (Ver. Círculo inscrito ).
Un triángulo ABC se llama fuera del círculo para un círculo (A', B', C') si los 3 lados AB , BC y CA tocan este círculo en algunos puntos C' , A' y B' respectivamente . a saber: uno de los 2 lados toca directamente, así como extensiones de otros 2 lados fuera del triángulo. En este caso, la circunferencia se llama excircunferencia del triángulo ABC (Ver Excircunferencia ).

Variantes de la definición de un círculo

Un círculo de diámetro AB es una figura que consta de los puntos A, B y todos los puntos del plano desde los cuales el segmento AB es visible en ángulo recto (Definición a través de un ángulo basado en el diámetro de un círculo ).
Un círculo con una cuerda AB es una figura que consta de los puntos A, B y todos los puntos del plano desde el cual el segmento AB es visible en un ángulo constante en un lado igual al ángulo inscrito del arco AB , y en otro ángulo constante en el otro lado igual a 180 grados menos el ángulo inscrito del arco AB especificado arriba (Definido por el ángulo inscrito ).
Una figura que consta de tales puntos que la relación de las longitudes de los segmentos AX y BX es constante: es un círculo (Definición a través del círculo de Apolonio ). $X,$ ${\frac{AX}{BX}}=c\neq 1,$
La figura que consta de todos esos puntos, para cada uno de los cuales la suma de las distancias al cuadrado a dos puntos dados es igual a un valor dado, mayor que la mitad del cuadrado de la distancia entre los puntos dados, también es un círculo (Definición a través de la Teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo arbitrario inscrito en un círculo, con una hipotenusa, que es el diámetro del círculo).
Un círculo es una figura cerrada, que no se interseca a sí misma, con la siguiente propiedad. Si se trazan cuerdas AB , CD , GF , etc. a través de un punto E arbitrario dentro de él, entonces las igualdades son válidas: (ver Fig.). Las igualdades siempre se cumplirán independientemente de la elección del punto E y de las direcciones de las cuerdas trazadas a través de él (Definición a través de cuerdas que se cruzan ). $AE\cdot EB=CE\cdot ED=GE\cdot EF$

Un círculo es una figura cerrada, que no se interseca a sí misma, con la siguiente propiedad. Si se trazan dos tangentes a través de un punto arbitrario M fuera de él a los puntos de su contacto con el círculo, por ejemplo, A y B , entonces sus longitudes siempre serán iguales: . La igualdad siempre se mantendrá independientemente de la elección del punto M (Definición por tangentes iguales ). $MA=MB$
Un círculo es una figura cerrada, que no se interseca a sí misma, con la siguiente propiedad. La relación entre la longitud de cualquiera de sus cuerdas y el seno de cualquiera de sus ángulos inscritos , en base a esta cuerda, es un valor constante igual al diámetro de este círculo (Definición a través del teorema del seno ).
Un círculo es un caso especial de una elipse , en el que la distancia entre los focos es cero (Definición a través de una elipse degenerada ).
El círculo es una espiral sinusoidal en . $n=1$

Definiciones relacionadas de dos círculos

Dos circunferencias que tienen un centro común se llaman concéntricas .
Se dice que dos círculos que tienen un solo punto común son tangentes externamente si sus círculos no tienen otros puntos comunes, e internamente si sus círculos están uno dentro del otro.
Dos círculos que tienen dos puntos en común se llaman intersecantes . Sus círculos (limitados por ellos) se cruzan en una región llamada segmento de círculo doble.
El ángulo entre dos círculos que se cortan (o tangentes) es el ángulo entre sus tangentes dibujadas en un punto común de intersección (o tangencia).
Además , el ángulo entre dos círculos que se cortan (o tangentes) se puede considerar el ángulo entre sus radios (diámetros) dibujados en un punto común de intersección (o tangencia).
Dado que para cualquier círculo su radio (o diámetro) y la tangente dibujada a través de cualquier punto del círculo son mutuamente perpendiculares, el radio (o diámetro) puede considerarse normal al círculo construido en su punto dado. Por tanto, los dos tipos de ángulos definidos en los dos párrafos anteriores serán siempre iguales entre sí, como ángulos de lados perpendiculares entre sí.
El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos cuyos grados con respecto a dos circunferencias dadas son iguales. En otras palabras, las longitudes de cuatro tangentes dibujadas a dos círculos dados desde cualquier punto M de un lugar geométrico de puntos dado son iguales .

Definiciones de ángulos para dos círculos

El ángulo entre dos círculos que se cortan es el ángulo entre las tangentes a los círculos en el punto de intersección de estos círculos. Ambos ángulos entre dos círculos que se cortan son iguales.
El ángulo entre dos círculos que no se cortan es el ángulo entre dos tangentes comunes a dos círculos, formado en el punto de intersección de estas dos tangentes. El punto de intersección de estas dos tangentes debe estar entre las dos circunferencias, y no en el lado de una de ellas (este ángulo no se considera). Ambos ángulos verticales entre dos círculos que no se cortan son iguales.

Ortogonalidad (perpendicularidad)

Dos círculos que se cortan en ángulos rectos se llaman ortogonales ( perpendiculares ). Dos círculos dados por las ecuaciones:

x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\;\;\;x^{2}+y^{2}+A_ {2}x+B_{2}y+C_{2}=0

son ortogonales si y solo si se cumple la siguiente condición:

A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=2\izquierda(C_{1}+C_{2}\derecha).

En otras palabras, dos círculos que se cortan en los puntos A y B con centros O y O' se llaman ortogonales si son ángulos rectos OAO' u OBO' . Es esta condición la que garantiza un ángulo recto entre los círculos. En este caso, los radios (normales) de los dos círculos dibujados hasta el punto de su intersección son perpendiculares. Por tanto, las tangentes de dos circunferencias trazadas en el punto de su intersección también son perpendiculares. La tangente del círculo es perpendicular al radio (normal) dibujado al punto de contacto. Por lo general, el ángulo entre curvas es el ángulo entre sus tangentes dibujadas en su punto de intersección.

Puede haber otra condición adicional. Sean dos círculos que se cortan en los puntos A y B tienen puntos medios de arcos que se cortan en los puntos C y D , es decir, el arco AC es igual al arco CB , el arco AD es igual al arco DB . Entonces estos círculos se llaman ortogonales si CAD y CBD son ángulos rectos .
En la teoría de la inversión se introducen: un círculo o una recta, perpendicular al círculo . En este caso, la perpendicularidad se determina de la misma manera que anteriormente. $\Gama$
En la teoría de la inversión , una línea es perpendicular a un círculo si pasa por el centro de este último. $\Gama$

Definiciones relacionadas de tres círculos

Tres círculos se llaman mutuamente tangentes (intersectados) si dos cualesquiera de ellos se tocan (intersecan) entre sí.
En geometría, el centro radical de tres círculos es el punto de intersección de los tres ejes radicales de pares de círculos. Si el centro radical se encuentra fuera de los tres círculos, entonces es el centro del único círculo ( círculo radical ) que corta ortogonalmente a los tres círculos dados .

Lema de Arquímedes

Lema de Arquímedes . Si el círculo está inscrito en el segmento del círculo restado por la cuerda y toca el arco en el punto , y la cuerda es tangente al punto , entonces la línea es la bisectriz del ángulo . El Lema de Arquímedes juega un papel importante en la construcción de la transformación isocircular . $antes de Cristo$ $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{1}A_{2}$ $BA_{1}C$

Prueba

Sea una homotecia llevando un círculo pequeño a uno grande. Entonces queda claro cuál es el centro de esta homotecia. Entonces la recta entrará en alguna recta tangente al gran círculo, y irá a un punto de esta recta y perteneciente al gran círculo. Recordando que la homotecia transforma rectas en rectas paralelas a ellas, entendemos que . Sea y un punto de la recta tal que es agudo, y sea un punto de la recta tal que es agudo. Entonces, puesto que es una tangente al círculo máximo . Por lo tanto , isósceles, y por lo tanto , es decir , la bisectriz del ángulo . $GRAMO$ $A_{1}$ $antes de Cristo$ $a$ $A_{2}$ $a\parallel BC$ $G(A_{2})=A_{3}$ $D$ $a$ ${\ estilo de visualización \ ángulo CA_ {3} D}$ $mi$ $a$ ${\ estilo de visualización \ ángulo BA_ {3} E}$ $a$ ${\ estilo de visualización \ ángulo CA_ {3} D}$ $=$ ${\ estilo de visualización \ ángulo CBA_ {3}}$ ${\displaystyle =\ángulo BCA_{3}E=\ángulo BCA_{3))$ ${\displaystyle \bigtriangleup BCA_{3))$ ${\displaystyle \ángulo BA_{1}A_{3}=\ángulo CA_{1}A_{3))$ $A_{1}A_{2}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo BA_ {1} C}$

Teorema de Descartes para los radios de cuatro círculos tangentes por pares

El teorema de Descartes establece que los radios de cualesquiera cuatro círculos mutuamente tangentes satisfacen alguna ecuación cuadrática . A veces se les llama círculos de Soddy .

Movimiento circular

Generalización multidimensional

Se puede definir un círculo generalizado para cualquier estructura matemática donde se dé el concepto de distancia. En particular, una generalización para el espacio euclidiano de alta dimensión es la hiperesfera ; en el espacio tridimensional, es una esfera ordinaria . En la geometría esférica, los círculos en la esfera cuyo centro coincide con el centro de la esfera (" grandes círculos ") juegan un papel importante .

En cultura y misticismo

El círculo, junto con conceptos similares de círculo , anillo y esfera , desde la antigüedad se consideraba un símbolo divino de la más alta perfección, un símbolo de belleza e igualdad. Los antiguos astrónomos estaban convencidos de que los cuerpos celestes se colocaban sobre esferas giratorias y, por lo tanto, se movían en círculos. Los caballeros del Rey Arturo se sentaron en una mesa redonda, lo que enfatizaba su igualdad [7] .

En la mitología egipcia , el dios creador Khnum modeló a los humanos en un torno de alfarero . El Libro de los Proverbios de Salomón dice que en la creación del mundo, Dios "dibuja un círculo sobre la faz del abismo" ( Prov. 8:27 ). Para protegerse contra los " espíritus malignos ", se suponía que dibujaba un círculo alrededor de sí mismo ( círculo mágico ). En las imágenes de los santos cristianos, sus rostros están rodeados por un halo redondo . El inframundo en muchas religiones consiste en círculos concéntricos, lo que simboliza la desesperanza. En Stonehenge y otros cromlechs , las piedras están dispuestas en círculo [7] [8] .

En diversas doctrinas místicas , el círculo simboliza a menudo la infinitud y la ciclicidad de la existencia ( ouroboros , Samsara ), el equilibrio ( yin/yang ), la estabilidad, etc. [9] . Un significado similar se ve en los modismos y dichos de muchos pueblos, por ejemplo: "todo el año", "círculo social", "círculo vicioso", "responsabilidad mutua", etc. Probablemente, la costumbre generalizada de intercambiar anillos entre los la novia y el novio simbolizan la eternidad de los sentimientos, la estabilidad de la familia [8] [10] .

El círculo se utiliza en los gráficos de muchos símbolos, como el signo del pacifismo , el símbolo de copyright (©), etc.

Véase también

Glosario de planimetría para la palabra "Circunferencia"
Excluir
Inscritas y excircunferencias de un triangulo
Figuras inscritas y circunscritas para un triángulo.
círculo inscrito
Categoría:Círculos - conceptos básicos y teoremas para círculos
círculo circunscrito
Cicloide

Notas

↑ Enciclopedia Matemática, 1984 , p. 15-16.
↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 408-409.
↑ 1 2 3 Matemáticas elementales, 1976 , p. 410-411.
↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 409-410.
↑ L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak , I. I. Yudina. Geometría. Grados 7-9: libro de texto para instituciones educativas. - 19ª edición. - M. : Educación , 2009. - S. 167. - 384 p. - ISBN 978-5-09-021136-9 .
↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 510.
↑ 1 2 Yakovleva T. S., Demenok S. L. Estructuras y símbolos (La abstracción es un hecho empírico). - San Petersburgo. : Estratos, 2020. - S. 65-69. — 232 págs. - (Sólo). - ISBN 978-5-907314-11-5 .
↑ 1 2 Krug Archivado el 5 de agosto de 2021 en Wayback Machine .
↑ Abdullahi, Yahya (29 de octubre de 2019), The Circle from East to West, en Charnier, Jean-François, The Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art , Rizzoli International Publications, Incorporated, ISBN 9782370741004 .
↑ Círculo . Consultado el 17 de marzo de 2022. Archivado desde el original el 24 de enero de 2022. (indefinido)

Literatura

Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. et al. Capítulos adicionales para el libro de texto de octavo grado // Geometría. — 3ra edición. — M. : Vita-Press, 2003.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matemáticas elementales. Repetir curso. - Tercera edición, estereotipada. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Korn G., Korn T. Propiedades de círculos, elipses, hipérbolas y parábolas // Manual de matemáticas. - 4ª edición. - M. : Nauka, 1978. - S. 70.
Markushevich A. I. Curvas notables, número 4 . - M . : Gostekhizdat, 1952. - 32 p. Archivadoel 14 de septiembre de 2008 enWayback Machine
Círculo // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4.

Enlaces

Circle Archivado el 8 de mayo de 2017 en Wayback Machine en www.univer.omsk.su.
Círculo y circunferencia Archivado el 17 de marzo de 2017 en Wayback Machine en el sitio web de MetMath .

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran noruego Nuevo Britannica (en línea) universalis
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4032962-8 J9U : 987007286430105171 LCCN : sh85026057 LNB : 000321923 NKC : ph121971

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio

Secciones cónicas
Tipos principales	Elipse Hipérbola Parábola
Degenerar	Punto Directo par de lineas rectas
Un caso especial de una elipse	Circulo
Construcción geométrica	sección cónica Bolas de diente de lin diseño de steiner
ver también	constante cónica
Matemáticas • Geometría