El teorema de Monge (otro nombre es el teorema de los tres casquetes ) es un teorema de los tres círculos formulado por Jean d'Alembert y probado por Gaspard Monge . A menudo se utiliza como ejemplo de un teorema en cuya demostración es útil aumentar la dimensión del espacio.
Para tres círculos arbitrarios, cada uno de los cuales no se encuentra completamente dentro del otro, los puntos de intersección de las tangentes exteriores comunes a cada par de círculos se encuentran en la misma línea .
La prueba más simple utiliza una analogía tridimensional. [1] Que tres círculos correspondan a tres esferas de diferentes radios; los círculos corresponden a los ecuadores, que surgen de un plano que pasa por los centros de las esferas. Tres esferas se pueden apretar de forma única entre dos planos. Cada par de esferas define un cono que toca por fuera a ambas esferas, y el vértice de este cono corresponde al punto de intersección de las dos tangentes exteriores, es decir, el centro exterior de semejanza . Dado que una línea del cono se encuentra en cada plano, el vértice de cada cono debe estar en ambos planos y, por lo tanto, en algún lugar de la línea de intersección de los dos planos. Por tanto, los tres centros exteriores de la homotecia son colineales.
La prueba se puede construir sin la analogía tridimensional. En este caso, podemos considerar una composición de tres homotecias centradas en los puntos de intersección de las tangentes externas comunes a cada par de circunferencias, bajo las cuales cada una de las homotecias llevará una circunferencia a otra. En este caso, el producto de los coeficientes de estas tres homotecias será igual a 1 (ya que el coeficiente de cada una de las homotecias será igual a la razón del radio de un círculo al radio del otro círculo), es decir , la composición de tres de tales homotetias será una traducción paralela. Pero si consideramos uno de los centros de estos tres círculos, entonces podemos ver que al componer homotecias, se convertirá en sí mismo, es decir, será un punto fijo. Como resultado, la composición de tres homotetias será una traslación paralela con un punto fijo, por lo que esta composición será una transformación idéntica. Y según el teorema de los tres centros de homotecia , si la composición de tres homotetias es una transformación idéntica, entonces sus centros se encuentran en la misma línea recta. Por lo tanto, los puntos de intersección de las tangentes externas comunes a cada par de círculos se encuentran en la misma línea recta.