Teorema de Mori

La ley de Morrie es un nombre aleatorio para la siguiente identidad trigonométrica

\cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8)).

Este es un caso especial de la identidad más general

2^{n}\cdot \prod_{{k=0}}^{{n-1}}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\ alfa )}{\sin(\alfa )))

en n = 3 y α = 20°. El "teorema de Mori" obtuvo su nombre de Richard Feynman , quien usó esta identidad bajo este nombre. Feynman usó este nombre porque, cuando era niño, aprendió la identidad especificada de un niño llamado Maury Jacobs y posteriormente recordó el teorema por el resto de su vida con este nombre. [una]

Una relación similar para el seno también se cumple:

\sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8 }}

Además, dividiendo la segunda identidad por la primera, obtenemos la identidad de la tangente:

\operatorname {tg} (20^{\circ })\cdot \operatorname {tg} (40^{\circ })\cdot \operatorname {tg} (80^{\circ })={\sqrt {3}}=\nombre del operador {tg} (60^{\circ }).

Prueba

Usamos la conocida fórmula para el seno de un ángulo doble

\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).

Expresando a partir de aquí , obtenemos $\cos(\alfa )$

\cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha ))).

Entonces tenemos

{\begin{alineado}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )))\\[6pt]\cos(4\alpha ) &={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{{n-1 }}\alpha )&={\frac {\sin(2^{{n}}\alpha )}{2\sin(2^{{n-1}}\alpha ))).\end{alineado} }

Multiplicando, respectivamente, las partes izquierdas de estas igualdades entre sí y las partes derechas entre sí, obtenemos:

\cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{{n-1}}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )} {2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )))\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{ 2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{{n}}\alpha )}{2\sin(2^{{n-1}}\alpha ))).

Después de reducir las fracciones, quedará un seno del último numerador y un seno del primer denominador, así como 2 elevado a n en el denominador:

\prod _{{k=0}}^{{n-1}}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{ n}\sin(\alpha )}},

Esta identidad es la forma general del teorema de Mori.

Notas

↑ W. A. Beyer, J. D. Louck y D. Zeilberger , Una generalización de una curiosidad que Feynman recordó toda su vida , Matemáticas. revista 69, 43-44, 1996.

Enlaces

Weisstein, Ley de Eric W. Morrie (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .