Teorema de nagumo

El teorema de Nagumo es un teorema de existencia para la solución de un problema de valores en la frontera de primer tipo para una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se resuelve con respecto a la derivada más alta . Pertenece al matemático japonés Michio Nagumo [1] . Es uno de los teoremas del método de las desigualdades diferenciales .

Enunciado del teorema

Considere la siguiente ecuación diferencial de segundo orden con condiciones de contorno del primer tipo:

y''=f(x,y,y'),\quad x\in (a,b),

(1.1)

y(a)=y^{a},\quad y(b)=y^{b}.

(1.2)

Para formular el teorema de Nagumo para el problema (1.1-1.2) , necesitamos varias definiciones.

Sea definida la función para todos , donde . $f(x,y,z)$ $(x,y,z)\in {\mathfrak {B}}\times \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}\subconjunto \mathbb {R} ^{2}$

Definición. Diremos que una función pertenece a la clase de funciones de Nagumo [2] en el conjunto y escribiremos si existe una función continua positiva tal que $f(x,y,z)$ ${\mathfrak B}$ $f\in N({\mathfrak {B}})$ ${\ estilo de visualización \ varphi (u)}$

1)\ \forall (x,y,z)\in {\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} \Rightarrow |f(x,y,z)|\leqslant \varphi (|z |),

(2.1)

2)\ \int _{0}^{\infty }{\frac {u\,du}{\varphi (u)))=+\infty .

(2.2)

Definición. Las soluciones inferior y superior (barrera) del problema (1.1–1.2) son, respectivamente, funciones y , pertenecientes a , y tales que ${\subrayado {\omega}}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$ $C^{2}(a,b)\cap C[a,b]$

1){\begin{matriz}{c}{\subrayado {\omega }}(a)<y^{a}<{\overline {\omega }}(a),\\[.5ex] {\subrayado {\omega}}(b)<y^{b}<{\overline {\omega}}(b);\end{matriz}}

(3.1)

2){\begin{matriz}{c}{\subrayado {\omega}}''(x)>f(x,{\subrayado {\omega}}(x),{\subrayado {\omega }}'(x)),\\[.5ex]{\overline {\omega }}''(x)<f(x,{\overline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}'(x)),\end{matriz}}\ \forall x\in (a,b).

(3.2)

Definición. Una solución clásica al problema (1.1–1.2) es una función que pertenece y satisface la ecuación (1.1) para todas y cada una de las condiciones de contorno (1.2) . $y(x)$ $C^{2}(a,b)\cap C[a,b]$ ${\ estilo de visualización x \ en (a, b)}$

Teorema (Nagumo). Sean soluciones superior e inferior del problema (1.1–1.2) tales que ${\subrayado {\omega}}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$

1)\ \forall x\in [a,b]\Rightarrow {\underline {\omega }}(x)<{\overline {\omega }}(x),

(4.1)

2)\ f(x,y,z)\in C^{0,1,1}({\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} )\cap N({\mathfrak {B }}),

(4.2)

donde _ Entonces hay al menos una solución clásica del problema (1.1–1.2) que pertenece y se encuentra entre las soluciones de barrera y : ${\mathfrak {B}}\equiv [a,b]\times [{\underline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}(x)]$ $y(x)$ $C^{2}[a,b]$ ${\subrayado {\omega}}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$

\forall x\in [a,b]\Rightarrow {\underline {\omega }}(x)<y(x)<{\overline {\omega }}(x).

(4.3)

Prueba del teorema

La demostración del teorema de Nagumo se basa en el método de disparo y utiliza los siguientes lemas.

Lema 1. Sea un dominio acotado cerrado en el plano y sea . Entonces cualquier curva integral de la ecuación (1.1) que pase por un punto interior de la región puede extenderse en ambas direcciones hasta el límite de esta región. ${\mathfrak B}$ $(x,y)$ $f(x,y,z)\in C({\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} )\cap N({\mathfrak {B}})$ ${\mathfrak B}$

Véase también

método de disparo

Notas

↑ Nagumo M. Über die differenzialgleichung . - págs. 864-865. $y''=f(x,y,y')$
↑ En el trabajo de F. Hartman, se usa el término función de Nagumo - ver Hartman Ph. Sobre problemas de valores en la frontera para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, no lineales y de segundo orden. - pags. 494.

Literatura

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Doctor Hartman. Sobre problemas de valores en la frontera para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, no lineales y de segundo orden // Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense. - 1960. - Vol. 96 , núm. 3 . - P. 493-509 . - ISSN 0002-9947 .

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