Teorema de pompey

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El teorema de Pompei es un teorema de planimetría descubierto por el matemático rumano Dimitrie Pompei y publicado por él en 1936 [1] . El teorema se conoce en dos formulaciones: particular y más general.

Formulaciones

Redacción privada

Sea dado un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia . Entonces, para cualquier punto de este círculo, la distancia de él a uno de los vértices del triángulo es igual a la suma de las distancias a los otros dos vértices. En particular, para la Fig. a la derecha tenemos: . En forma simétrica, esta formulación se puede escribir como: o . $AM+CM=BM$ $MA+MB+MC=2\max(MA,MB,MC)$ $x+y+z = 2\max(x,y,z)$

Ejemplos de proporciones similares

Relaciones similares se encuentran en las siguientes secciones:

Redacción general

Sea dado un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia. Entonces las siguientes desigualdades se cumplen para cualquier punto: $A B C$ $METRO$

MA\leqslant MB+MC,

MB\leqslant MA+MC,

MC\leqslant MA+MB.

Además, estas desigualdades se convierten en igualdades si y solo si el punto se encuentra en los arcos y en el círculo circunscrito, respectivamente. $METRO$ $antes de Cristo$ $C.A.$ $AB$

En otras palabras, a partir de los segmentos , , puedes hacer un triángulo , pero si el punto está en el círculo circunscrito, será degenerado. $MAMÁ$ $MEGABYTE$ $MC$ $METRO$

Evidencia

Considere una rotación alrededor de un punto en . Con esta rotación, el punto irá a , y - a . $A$ $60^{\círculo}$ $B$ $C$ $METRO$ $METRO'$

Tenga en cuenta que el triángulo es equilátero, entonces . Dado que la rotación es una isometría , entonces . $AMM'$ $AM=MM'$ $MB=MC$

Por lo tanto, las longitudes de los segmentos , , son iguales a las distancias por pares entre los puntos , , , es decir, las tres desigualdades se derivarán de la desigualdad triangular generalizada . Una de las desigualdades se convierte en igualdad si y sólo si los puntos , y se encuentran en la misma línea recta. $MAMÁ$ $MEGABYTE$ $MC$ $METRO$ $METRO'$ $C$ $METRO$ $METRO'$ $C$

Tenga en cuenta que debido a las propiedades de rotación . Ahora, en el caso cuando se encuentra entre y tenemos y , es decir, se encuentra en el arco . Del mismo modo, en los otros dos casos, uno de los ángulos indicados será , y el otro , y obtendremos otros dos arcos. $\ángulo AM'C=\ángulo AMB$ $C$ $METRO$ $METRO'$ $\ángulo AM'C=\ángulo AMB=60^{\circ }$ $\ángulo AMC=60^{\circ}$ $METRO$ $antes de Cristo$ $60^{\círculo}$ $120^{\círculo}$

Otras pruebas

Además, el teorema de Pompeyo se sigue directamente de la desigualdad de Ptolomeo aplicada a , y , es decir, para un cuadrilátero inscrito en un círculo . $A$ $B$ $C$ $METRO$ ${\ estilo de visualización ABCM}$
El teorema se puede probar usando inversión [2] [3] o números complejos [2] [4] - La propia prueba de Pompeyo también usó números complejos [1] .

Variaciones y generalizaciones

Área del Triángulo de Pompeyo

Como dice el teorema, para cualquier punto de los segmentos , , es posible construir un triángulo (el triángulo de Pompeyo correspondiente al punto ). Si está dentro de un triángulo de área , y las áreas de los triángulos , y son iguales a , , , entonces el área del triángulo de Pompeyo es [2] . $METRO$ $MAMÁ$ $MEGABYTE$ $MC$ $METRO$ $METRO$ $A B C$ $S_{0}$ $AMB$ $BMC$ $AMC$ $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{3}$ ${\ fracción {S_{1}S_{2}+S_{2}S_{3}+S_{3}S_{1}}{S_{0}}}$

Teorema generalizado de Pompeyo

Deje que el círculo toque el círculo circunscrito de un triángulo equilátero en un punto arbitrario . Dibujemos tangentes , , a este círculo desde los vértices del triángulo. entonces _ $A B C$ $METRO$ $AA_{1}$ $BB_{1}$ $CC_{1}$ $AA_{1}+CC_{1}=BB_{1}$

La demostración se basa en la aplicación del teorema de Pompeyo y el teorema de la tangente y la secante . Está claro que si hacemos el radio del círculo cero, obtenemos el teorema clásico de Pompeyo. Esta generalización del teorema de Pompeyo es una simple consecuencia del teorema de Casey ( teorema de Ptolomeo generalizado ), cuando los radios de tres de los cuatro círculos tangentes de un cuadrilátero inscrito degeneran en puntos, y el cuarto círculo aparece en esta generalización del teorema de Pompeyo . En este caso, el cuadrilátero inscrito degenera en un triángulo equilátero con un vértice extra. Se puede tomar otro caso de cuadrilátero inscrito, cuando tiene dos lados y una diagonal iguales, formando un triángulo equilátero ABC y sus tres vértices, el cuarto vértice M se encuentra sobre la circunferencia (ver última figura).

Notas

↑ 1 2 D. Pompeya. Une identité entre nombres complexes et un théorème de géométrie élémentaire (francés) // Bull. Matemáticas. física Escuela politécnica. :revista. - Bucarest, 1936. - Vol. 6 _ - Pág. 6-7 .
↑ 1 2 3 A. Benyi, I. Casu, revisión del teorema de Pompeiu. Archivado el 31 de marzo de 2011 en Wayback Machine .
↑ Una prueba del teorema de Ptolomeo usando inversión . Archivado el 26 de mayo de 2009 en Wayback Machine . Punto de consulta remota de matemáticas MCNMO .
↑ Ponarín, 2004.

Fuentes

V. Yu. Protasov. Máximos y Mínimos en Geometría . — M. : MTsNMO , 2005.
Ya. P. Ponarin. Álgebra de Números Complejos en Problemas Geométricos . — M. : MTsNMO , 2004.