Teorema de feuerbach

El teorema de Feuerbach  es un resultado de la geometría de un triángulo . El teorema fue formulado y probado por Carl Wilhelm Feuerbach en 1822 .

Redacción

El círculo de nueve puntos de un triángulo arbitrario toca el incírculo y los tres excírculos de este triángulo.

Notas

• Los puntos de tangencia por pares de una circunferencia inscrita y tres excircunferencias con una circunferencia de nueve puntos se denominan puntos de Feuerbach .
• Cada punto de Feuerbach se encuentra en el punto tangente de un par de círculos correspondientes en la línea que conecta sus centros, a una distancia de los radios correspondientes de sus centros.
• En un triángulo equilátero, la circunferencia de nueve puntas no se toca, sino que coincide con la circunferencia inscrita.

• Tres puntos de contacto de los tres excírculos de un triángulo con su círculo de nueve puntos forman el llamado triángulo de Feuerbach para este triángulo.

• El punto F de Feuerbach en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling se identifica como punto (centro) X (11).

Acerca de la evidencia

Se han encontrado más de 300 demostraciones de este teorema, muchas de las cuales usan inversión. Uno de ellos (engorroso) pertenece al propio Feuerbach. La demostración más corta conocida utiliza el teorema inverso de Casey [1] .

Declaraciones relacionadas

• Una hipérbola de Feuerbach  es una hipérbola circunscrita que pasa por el ortocentro y el centro de la circunferencia inscrita . Su centro se encuentra en el punto de Feuerbach. Los círculos de puntos de poder y ceviano de la hipérbola de Feuerbach pasan por el punto de Feuerbach. En particular, un círculo pasa por el punto de Feuerbach , dibujado a través de las bases de las bisectrices . [2] [3]

• El punto F de Feuerbach se encuentra en la línea que une los centros de dos círculos: el círculo de Euler y el círculo inscrito, que lo define.
• Sean , y las distancias desde el punto F de Feuerbach hasta los vértices del triángulo medio (un triángulo con vértices en los puntos medios de los lados de este triángulo). entonces [4] .

• Esta afirmación equivale al hecho de que la mayor de las tres distancias es igual a la suma de las otras dos. Es decir, un análogo de las propiedades del teorema de Mavlo no es para arcos, sino para segmentos.

Una relación similar se encuentra también en el apartado: " Teorema de Pompeyo ".

• En F. Ivlev [5] se pueden encontrar varios teoremas nuevos sobre el punto F de Feuerbach .

Notas

1. ↑ Casey, 1866 , pág. 411.
2. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria - 2011. - S. 105.
3. ↑ Dan Pedoe . Círculos: una visión matemática, Asociación Matemática de América, Washington, DC, 1995.
4. ↑ Weisstein, Eric W. Feuerbach Punto  en el sitio web Wolfram MathWorld .
5. ↑ Ivlev F. Varias líneas que pasan por el punto de Feuerbach / Educación matemática, ser. 3, núm. 15, 2011, págs. 219-228

Literatura

• Dm. Efremov, Nueva geometría del triángulo . (1902)
• Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nuevos encuentros con la geometría. -M.:Nauka, 1978. - T. 14.- (Biblioteca del Círculo Matemático).
• Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 49-50. — ISBN 5-94057-170-0 .
• Punto de Feuerbach. https://en.wikipedia.org/wiki/Feuerbach_point
• Puntos de Feuerbach (inglés). http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/feuer.html
• Thébault, Victor (1949), Sobre los puntos de Feuerbach , American Mathematical Monthly Vol . 56: 546–547 , DOI 10.2307/2305531 
• Emelyanov, Lev & Emelyanova, Tatiana (2001), Una nota sobre el punto de Feuerbach, Forum Geometricorum Vol . 1: 121–124 (electrónico) 
• Suceavă, Bogdan & Yiu, Paul (2006), El punto de Feuerbach y las líneas de Euler, Forum Geometricorum Vol. 6: 191–197 
• Vonk, Jan (2009), El punto de Feuerbach y las reflexiones de la línea de Euler, Forum Geometricorum Vol . 9: 47–55 
• Nguyen, Minh Ha & Nguyen, Pham Dat (2012), Pruebas sintéticas de dos teoremas relacionados con el punto de Feuerbach, Forum Geometricorum vol 12: 39–46 
• Juan Casey. Sobre las ecuaciones y propiedades: (1) del sistema de círculos que tocan tres círculos en un plano; (2) del Sistema de Esferas que Tocan Cuatro Esferas en el Espacio; (3) del Sistema de Círculos que Tocan Tres Círculos en una Esfera; (4) del sistema de cónicas inscritas en una cónica y tocando tres cónicas inscritas en un plano // Actas de la Royal Irish Academy. - 1866. - Nº 9 . - S. 396-423 . — .