Teorema de Sochocki-Weierstrass

El teorema de Sochocki-Weierstrass es un teorema de análisis complejo que describe el comportamiento de una función holomorfa en una vecindad de un punto singular esencial.

Dice que cualquier función analítica de un solo valor en cada vecindad de un punto esencialmente singular toma valores arbitrariamente cercanos a un número complejo arbitrario preasignado [1] .

Historia

Fue publicado por Yu.V. Sokhotsky en 1868 en su tesis de maestría [K 1] ; probó que “en un polo de orden infinito” (así se llamaba al punto esencialmente singular) la función “debía tomar todos los valores posibles” (en este trabajo, el valor de la función en este punto se entendía como el valor límite a lo largo de la secuencia de puntos que convergen a él) [2] .

Simultáneamente con Sokhotsky, el matemático italiano F. Casorati publicó un teorema sobre la densidad de la imagen de una vecindad perforada de un punto singular esencial en su obra "Teoría de funciones de variables complejas" [K 2] . Weierstrass publicó este teorema solo en 1876 en su trabajo "Sobre la teoría de las funciones analíticas de un solo valor" [K 3] [3] . Por primera vez, lo encuentran los matemáticos franceses Ch. Briot y J.C. Bouquet en su trabajo sobre la teoría de las funciones elípticas [K 4] [1] .

En ninguna parte Sokhotsky defendió su prioridad sobre este y sus otros resultados atribuidos a otros [2] ; en la literatura en idiomas europeos, el teorema se conoce como el teorema de Casorati-Weierstrass .

Redacción

Sea lo que sea , en cualquier vecindad de un punto singular esencial de la función hay al menos un punto en el que el valor de la función difiere de un número complejo B dado arbitrariamente en menos de . $\varepsilon >0$ $z_{0}$ $f(z)$ $z_{1}$ $f(z)$ $\varepsilon$

Prueba

Suponga que el teorema es falso, es decir

\existe B\in \mathbb {C} \qquad \existe \varepsilon >0\qquad \existe \eta _{0}>0:\qquad \forall z:|z-z_{0}|<\ eta_{0}

{\ estilo de visualización | f (z) -B |> \ varepsilon}

Consideremos una función auxiliar . En virtud de nuestra suposición, la función está definida y acotada en una vecindad del punto . Por lo tanto , es un punto singular removible [4] . Esto significa que la expansión de la función en la vecindad del punto tiene la forma: ${\ estilo de visualización \ psi (z) = {\ frac {1} {f (z) -B))}$ $\psi (z)$ $\eta _{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $\psi (z)$ $\psi (z)$ $z_{0}$

\psi (z)=(z-z_{0})^{m}{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)\qquad {\stackrel {\sim }{\varphi }} (z)\neq 0

Entonces, en virtud de la definición de la función , la siguiente expansión de la función tiene lugar en la vecindad dada del punto : $\psi (z)$ $z_{0}$ $f(z)$

f(z)=(z-z_{0})^{-m}\varphi(z)+B

donde la función analítica está acotada en la vecindad del punto . Pero tal expansión significa que el punto es un polo o un punto regular de la función , y la expansión de este último en una serie de Laurent debe contener un número finito de términos, lo que contradice la condición del teorema. $\varphi (z)={\frac {1}{{\stackrel {\sim}{\varphi}}(z)))$ $\eta _{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $f(z)$

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De manera equivalente, este teorema se puede reformular de la siguiente manera:

Si un punto es esencialmente singular para una función que es analítica en alguna vecindad perforada , entonces para un número complejo arbitrario uno puede encontrar una secuencia convergente a la cual . $z_{0}$ $f(z)$ ${\displaystyle U=\{z:\,0<|z-z_{0}|<\varepsilon\))$ $w$ $\{z_{n}\}\subconjunto U$ $z_{0}$ ${\ estilo de visualización \ {f (z_ {n}) \} \ a w}$
el conjunto de valores de una función holomorfa en una vecindad perforada arbitrariamente pequeña de su punto singular esencial es denso en todas partes . ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

Generalizaciones

El teorema de Sochocki es generalizado por el Gran Teorema de Picard , que establece que una función analítica en una vecindad de un punto esencialmente singular toma todos los valores excepto quizás un valor.

Comentarios

↑ Teoría de residuos integrales con algunas aplicaciones. - San Petersburgo. , 1868.
↑ Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. — Pavía, 1868.
↑ Weierstrass K. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, B. - P. 77-124.
↑ C. Briot, I. Ramo. Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiques. — 1859.

Enlaces

↑ 1 2 Teorema de Sokhotsky-Weierstrass // Gran enciclopedia soviética. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.
↑ 1 2 B. V. Shabat. Distribución de valores de mapeos holomorfos . - M .: Nauka, edición principal de literatura física y matemática, 1982. Archivado el 5 de marzo de 2016 en Wayback Machine Copia archivada (enlace inaccesible) . Consultado el 15 de noviembre de 2011. Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016. (indefinido) .
↑ IM Vinogradov. Teorema de Sokhotsky // Enciclopedia Matemática. - M. : Enciclopedia soviética, 1977-1985. .
↑ Este hecho se prueba utilizando la estimación mayorista de la expansión de una función en una serie de Laurent.

Literatura

Evgrafov M. A. Funciones analíticas. — M .: Nauka . — 1968, 448 páginas.
Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka . - 1969, 577 páginas.