Teorema de continuación de Tietze

El teorema de extensión de Tietze (o el teorema de Tietze-Urysohn ) da condiciones suficientes para una función definida en un subconjunto del espacio y que permite la extensión continua a todo el espacio.

Redacción

Sea un espacio normal y $X$

f\dos puntos A\to \mathbb {R}

una función continua de valor real definida en un subconjunto cerrado de . Entonces hay una función continua $A\subconjunto X$

F\dos puntos X\to \mathbb {R}

tal que para todos . ${\ Displaystyle F(a)=f(a)}$ $a \ en A$

Además, si está acotada, entonces se puede elegir que la función también esté acotada por la misma constante. $F$ $F$

Historia

Leutzen Brouwer y Henri Lebesgue demostraron un caso especial del teorema, para espacios vectoriales reales de dimensión finita .
Heinrich Tietze generalizó el teorema al caso de todos los espacios métricos .
Pavel Uryson demostró el teorema, como se establece aquí, para espacios topológicos normales. [1] [2]

Variaciones y generalizaciones

Este teorema es equivalente al lema de Urysohn .

Si es un espacio métrico , entonces una función de Lipschitz definida en un subconjunto arbitrario de , se extiende a una función de Lipschitz en todo el espacio, con la misma constante de Lipschitz. $X$ $X$

Véase también

Teorema de continuación de Kirschbrown

Enlaces

↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), lema de Urysohn-Brouwer , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Urysohn, Paul (1925), Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen , Mathematische Annalen T. 94 (1): 262–295 , DOI 10.1007/BF01208659 .