El teorema del número poligonal de Fermat establece que cualquier número natural se puede representar como la suma de números a lo sumo -gonales .
Ejemplos de división de números naturales del 1 al 30 de acuerdo con el teorema de Fermat [1] :
Número | La suma de no más de tres números triangulares |
La suma de no más de cuatro números cuadrados |
Suma de no más de cinco números pentagonales |
|
---|---|---|---|---|
una | una | una | ||
2 | 1+1 | 1+1 | 1+1 | |
3 | 3 | 1+1+1 | 1+1+1 | |
cuatro | 3+1 | 1+1+1+1 | ||
5 | 3+1+1 | 5 | ||
6 | 6 | 5+1 | ||
7 | 6+1 | 5+1+1 | ||
ocho | 6+1+1 | 5+1+1+1 | ||
9 | 6+3 | 5+1+1+1+1 | ||
diez | diez | 5+5 | ||
once | 10+1 | 5+5+1 | ||
12 | 6+6 | 12 | ||
13 | 10+3 | 12+1 | ||
catorce | 10+3+1 | 12+1+1 | ||
quince | quince | 5+5+5 | ||
dieciséis | 15+1 | 5+5+5+1 | ||
17 | 10+6+1 | 12+5 | ||
Dieciocho | 15+3 | 12+5+1 | ||
19 | 10+6+3 | 12+5+1+1 | ||
veinte | 10+10 | 5+5+5+5 | ||
21 | 21 | 5+5+5+5+1 | ||
22 | 21+1 | 22 | ||
23 | 10+10+3 | 22+1 | ||
24 | 21+3 | 12+12 | ||
25 | 15+10 | 12+12+1 | ||
26 | 15+10+1 | 12+12+1+1 | ||
27 | 21+6 | 22+5 | ||
28 | 28 | 22+5+1 | ||
29 | 28+1 | 12+12+5 | ||
treinta | 15+15 | 12+12+5+1 |
El teorema lleva el nombre de Pierre Fermat , quien presentó esta declaración en 1638 sin pruebas, pero prometió presentarla en un artículo separado, que nunca apareció [2] . En 1770 Lagrange demostró este teorema para números cuadrados [2] . Gauss demostró el teorema de los números triangulares en 1796. El joven Gauss acompañó su hallazgo con una entrada en el diario: " ¡ Eureka !" [3] y publicó la demostración en el libro Investigaciones aritméticas . Este resultado de Gauss se conoce como el "teorema de Eureka" [4] Cauchy demostró el teorema por completo en 1813. [2] Las siguientes demostraciones se basan en los lemas demostrados por Cauchy [5] .
Los más interesantes son los casos cuadrados y triangulares . El teorema de la suma de los cuatro cuadrados de Lagrange, junto con el teorema de los tres cuadrados de Legendre, resuelven el problema de Waring para . Y en el caso de números triangulares, reemplazar el cuadrado con un polinomio cuadrado te permite reducir el número requerido de términos.