Teorema de Fermat sobre números poligonales

El teorema del número poligonal de Fermat establece que cualquier número natural se puede representar como la suma de números a lo sumo -gonales . $norte$ $norte$

Ejemplos

Ejemplos de división de números naturales del 1 al 30 de acuerdo con el teorema de Fermat [1] :

Número	La suma de no más de tres números triangulares	La suma de no más de cuatro números cuadrados	Suma de no más de cinco números pentagonales
una	una	$una$	una
2	1+1	1+1	1+1
3	3	1+1+1	1+1+1
cuatro	3+1	$2^{2}$	1+1+1+1
5	3+1+1	${\ estilo de visualización 2^{2}+1}$	5
6	6	${\ estilo de visualización 2^{2}+1+1}$	5+1
7	6+1	${\ estilo de visualización 2^{2}+1+1+1}$	5+1+1
ocho	6+1+1	${\ estilo de visualización 2^{2}+2^{2}}$	5+1+1+1
9	6+3	${\ estilo de visualización 3^{2}}$	5+1+1+1+1
diez	diez	${\ estilo de visualización 3^{2}+1}$	5+5
once	10+1	${\ estilo de visualización 3^{2}+1+1}$	5+5+1
12	6+6	${\ estilo de visualización 2^{2}+2^{2}+2^{2}}$	12
13	10+3	${\ estilo de visualización 3^{2}+2^{2}}$	12+1
catorce	10+3+1	${\ estilo de visualización 3^{2}+2^{2}+1}$	12+1+1
quince	quince	${\ estilo de visualización 3^{2}+2^{2}+1+1}$	5+5+5
dieciséis	15+1	${\ estilo de visualización 4^{2}}$	5+5+5+1
17	10+6+1	${\ estilo de visualización 4^{2}+1}$	12+5
Dieciocho	15+3	${\ estilo de visualización 3^{2}+3^{2}}$	12+5+1
19	10+6+3	${\ estilo de visualización 3^{2}+3^{2}+1}$	12+5+1+1
veinte	10+10	${\ estilo de visualización 4^{2}+2^{2}}$	5+5+5+5
21	21	${\ estilo de visualización 4^{2}+2^{2}+1}$	5+5+5+5+1
22	21+1	${\ estilo de visualización 3^{2}+3^{2}+2^{2}}$	22
23	10+10+3	${\ estilo de visualización 3^{2}+3^{2}+2^{2}+1}$	22+1
24	21+3	${\ estilo de visualización 4^{2}+2^{2}+2^{2}}$	12+12
25	15+10	${\ estilo de visualización 5^{2}}$	12+12+1
26	15+10+1	${\ estilo de visualización 5^{2}+1}$	12+12+1+1
27	21+6	${\ estilo de visualización 5^{2}+1+1}$	22+5
28	28	${\ estilo de visualización 5^{2}+1+1+1}$	22+5+1
29	28+1	${\ estilo de visualización 5^{2}+2^{2}}$	12+12+5
treinta	15+15	${\ estilo de visualización 5^{2}+2^{2}+1}$	12+12+5+1

Historia

El teorema lleva el nombre de Pierre Fermat , quien presentó esta declaración en 1638 sin pruebas, pero prometió presentarla en un artículo separado, que nunca apareció [2] . En 1770 Lagrange demostró este teorema para números cuadrados [2] . Gauss demostró el teorema de los números triangulares en 1796. El joven Gauss acompañó su hallazgo con una entrada en el diario: " ¡ Eureka !" [3] y publicó la demostración en el libro Investigaciones aritméticas . Este resultado de Gauss se conoce como el "teorema de Eureka" [4] Cauchy demostró el teorema por completo en 1813. [2] Las siguientes demostraciones se basan en los lemas demostrados por Cauchy [5] .

Casos especiales

Los más interesantes son los casos cuadrados y triangulares . El teorema de la suma de los cuatro cuadrados de Lagrange, junto con el teorema de los tres cuadrados de Legendre, resuelven el problema de Waring para . Y en el caso de números triangulares, reemplazar el cuadrado con un polinomio cuadrado te permite reducir el número requerido de términos. ${\ Displaystyle m = n ^ {2}}$ $m={\frac{n(n+1)}{2))$ $n=2$

Notas

↑ Violant-y-Holtz, Albert. Misterio de la granja. Un desafío de tres siglos para las matemáticas. - M. : De Agostini, 2014. - S. 146. - 160 p. — (El Mundo de las Matemáticas: en 45 volúmenes, tomo 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3 .
↑ 1 2 3 Heath, Sir Thomas Little (1910), Diofanto de Alejandría; una historia del álgebra griega , Cambridge University Press, p. 188 , < https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala > .
↑ Bell, Eric Temple (1956), Gauss, el príncipe de los matemáticos, en Newman, James R., The World of Mathematics , vol. I, Simon & Schuster , pág. 295–339 . Reimpresión de Dover, 2000, ISBN 0-486-41150-8 .
↑ Ono, Ken; Robins, Sinai & Wahl, Patrick T. (1995), Sobre la representación de números enteros como sumas de números triangulares , Aequationes Mathematicae T. 50 (1–2): 73–94 , DOI 10.1007/BF01831114 .
↑ Nathanson, Melvyn B. (1987), Una prueba breve del teorema del número poligonal de Cauchy , Actas de la American Mathematical Society vol . 99 (1): 22–24 , DOI 10.2307/2046263

Enlaces

Weisstein, Teorema del número poligonal de Eric W. Fermat (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Nathanson, Melvyn B. (1996), Teoría de números aditivos Las bases clásicas , Berlín: Springer , ISBN 978-0-387-94656-6 . Contiene la demostración del teorema de Lagrange y el teorema del número poligonal.