Números rizados

Los números figurados son números que se pueden representar usando formas geométricas. Este concepto histórico se remonta a los pitagóricos , quienes desarrollaron el álgebra sobre una base geométrica y representaron cualquier número entero positivo como un conjunto de puntos en un plano [1] . Las expresiones “cuadrar un número” o “cubo” [2] quedaron como un eco de este enfoque .

Tradicionalmente, hay dos clases principales de números rizados [3] :

Los números poligonales planos son números asociados con un polígono particular. Se dividen en clásicas y centradas .
Los números poliédricos espaciales son números asociados con un cierto poliedro .

A su vez, cada clase de números figurativos se divide en variedades , cada una de las cuales está asociada a una figura geométrica concreta: triángulo, cuadrado, tetraedro, etc.

También hay generalizaciones de números rizados a espacios multidimensionales . En la antigüedad, cuando la aritmética no estaba separada de la geometría, se consideraron varios tipos más de números figurativos, que actualmente no se utilizan .

En teoría de números y combinatoria , los números figurativos se asocian con muchas otras clases de enteros : coeficientes binomiales , números perfectos, números de Mersenne , números de Fermat , números de Fibonacci, números de Lucas y otros [4] .

Números poligonales clásicos

Para abreviar, en esta sección, los números poligonales clásicos se denominan simplemente "números poligonales".

Definición geométrica

Los números poligonales son una secuencia que indica el número de puntos, construida según las reglas que ilustraremos con el ejemplo de un heptágono. La serie de números heptagonales comienza con 1 (punto base), luego viene 7, porque 7 puntos forman un heptágono regular , se suman 6 puntos. El tercer número corresponde a un heptágono cuyos lados ya no contienen dos, sino tres puntos, y también se tienen en cuenta todos los puntos construidos en los pasos anteriores. Se puede ver en la figura que la tercera figura contiene 18 puntos, el aumento (Pitágoras lo llamó " gnomon ") fue de 11 puntos. Es fácil ver que las sumas forman una progresión aritmética , en la que cada término es 5 más que el anterior [5] .

Pasando a un -gon general, podemos concluir que en cada paso aumenta el número de puntos correspondientes al número figurativo como la suma de una progresión aritmética [5] con el primer término 1 y la diferencia $k$ ${\ estilo de visualización k-2.}$

Definición algebraica

La definición general de un número de carbón k para cualquiera se deriva de la construcción geométrica presentada anteriormente. Se puede formular de la siguiente manera [6] : $k \geqslant 3$

$norte$ El k -número de carbón en orden es la suma de los primeros términos de una progresión aritmética , en la que el primer término es igual a 1, y la diferencia es igual a ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $norte$ ${\ estilo de visualización k-2.}$

Por ejemplo, los números triangulares se obtienen como sumas parciales de la serie y los números cuadrangulares (cuadrados) corresponden a la serie $1+2+3+4\puntos$ $1+3+5+7\puntos$

La sucesión de números k -gonales tiene la forma [7] :

1,\;k,\;3k-3,\;6k-8,\;10k-15,\;15k-24,\;21k-35,\;28k-48,\;36k-63 ,\;45k-80\puntos

La fórmula general para el cálculo explícito del orden th del número k -coal puede obtenerse representándolo como la suma de una progresión aritmética [8] : $norte$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$

{\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2))={\frac {(k-2)n^{2} -(k-4)n}{2}}={\frac{1}{2}}k(n^{2}-n)-n^{2}+2n}

(OKF)

En algunas fuentes, la secuencia de números rizados comienza desde cero (por ejemplo, en A000217 ):

{\ estilo de visualización 0, \; 1, \; k, \; 3k-3, \ puntos}

En este caso, en la fórmula general para ello se permite En este artículo, los números figurativos se numeran a partir del uno, y se especifica especialmente la serie extendida . ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ ${\ estilo de visualización n = 0.}$

También hay una fórmula recursiva para calcular un número poligonal [8] :

P_{n}^{(k)}={\begin{casos}1,&n=1\\P_{n-1}^{(k)}+(k-2)(n-1) +1,&n>1\end{casos}}

Con un aumento en el número de lados por uno, los números figurativos correspondientes cambian según la fórmula de Nicomach [9] : $k$

{\displaystyle P_{n}^{(k+1)}=P_{n}^{(k)}+P_{n-1}^{(3)))

, donde .

n>1

(Nicómaco)

Como depende linealmente de la fórmula es válida: ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k,$

{\displaystyle P_{n}^{(k+s)}+P_{n}^{(ks)}=2P_{n}^{(k)))

, donde .

{\ estilo de visualización s = 0,1,2 \ puntos k-3}

En otras palabras, cada número poligonal es la media aritmética de números poligonales equidistantes de él con el mismo número. $k$

Si es un número primo , entonces el segundo número de carbón, igual a , también es primo; esta es la única situación en la que un número poligonal es primo, a lo que se puede llegar escribiendo la fórmula general de la siguiente forma: $k$ $k$ $k$

{\textstyle P_{n}^{(k)}={\frac {2+(n-1)(k-2)}{2}}n}

Prueba: si es par, entonces el número rizado es divisible por , y si es impar, entonces es divisible por . En ambos casos, el número figurativo resulta ser compuesto [10] . ${\ estilo de visualización n> 2.}$ $norte$ ${\ estilo de texto {\ frac {n}{2))}$ ${\estilo de texto {\frac {2+(n-1)(k-2)}{2))}$

Serie de números poligonales inversos

{\frac {1}{P_{1}^{(k)}}}+{\frac {1}{P_{2}^{(k)))}+{\frac {1}{ P_{3}^{(k)}}}+\puntos +{\frac {1}{P_{n}^{(k)))}+\puntos

converger. Su suma se puede representar como donde es la constante de Euler-Mascheroni , es la función digamma [11] . $S$ ${\textstyle S=-{\frac {2}{k-4}}\left(\gamma +\psi ({\frac {2}{k-2}})\right),}$ $\gama$ $\psi(x)$

Reseña histórica

Los números figurados, según los pitagóricos , juegan un papel importante en la estructura del universo. Por lo tanto, muchos matemáticos destacados de la antigüedad se dedicaron a su estudio: Eratóstenes , Hipsicles , Diofanto de Alejandría , Teón de Esmirna y otros. Hypsicles (siglo II a. C.) dio una definición general del número -carbón como la suma de los miembros de una progresión aritmética , en la que el primer miembro es y la diferencia es . Diofanto escribió un gran estudio "Sobre los números poligonales" (siglo III d. C.), fragmentos del cual han sobrevivido hasta el día de hoy. La definición de Hypsicles se da en el libro de Diofanto de la siguiente forma [12] [13] : $k$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $norte$ $una$ ${\ estilo de visualización k-2}$

Si tomamos algunos números, comenzando por uno, que tienen las mismas diferencias, entonces su suma, si la diferencia es uno, será un triángulo, si dos, entonces un cuadrilátero, y si tres, un pentágono. El número de esquinas está determinado por la diferencia aumentada en dos, y el lado está determinado por el número de números tomados, contando y uno.

Se habla mucho de los números figurados en los libros de texto pitagóricos de aritmética, creados por Nicómaco de Geraz y Teón de Esmirna (siglo II), quienes establecieron una serie de dependencias entre números figurados de diferentes dimensiones. Los matemáticos indios y los primeros matemáticos de la Europa medieval ( Fibonacci , Pacioli , Cardano , etc.) mostraron un gran interés por los números figurativos [14] [4] .

En tiempos modernos, Fermat , Wallis , Euler , Lagrange , Gauss y otros se ocuparon de los números poligonales . En septiembre de 1636 [15] Fermat formuló en una carta a Mersenne un teorema que hoy se llama teorema del número poligonal de Fermat [14] :

Fui el primero en descubrir un teorema muy hermoso y bastante general de que todo número es triangular o la suma de dos o tres números triangulares; todo número es cuadrado o es la suma de dos, tres o cuatro cuadrados; o pentagonal, o es la suma de dos, tres, cuatro o cinco números pentagonales, y así hasta el infinito, ya sea para números hexagonales, heptagonales o poligonales cualesquiera. No puedo dar aquí una prueba que dependa de los muchos e intrincados misterios de los números, porque tengo la intención de dedicar un libro entero a este tema y obtener, en esta parte de la aritmética, avances asombrosos sobre los límites previamente conocidos.

Contrariamente a su promesa, Fermat nunca publicó una prueba de este teorema, que en una carta a Pascal (1654) llamó su principal logro en matemáticas [15] . Muchos matemáticos destacados se ocuparon del problema: en 1770, Lagrange demostró un teorema para números cuadrados ( el teorema de Lagrange sobre la suma de cuatro cuadrados ), en 1796, Gauss dio una demostración para números triangulares. Cauchy dio una prueba completa del teorema en 1813 [16] [17] .

Variedades de números poligonales clásicos

Números triangulares

Secuencia numérica triangular :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210…, … (secuencia A000217 en OEIS )

{\estilo de texto {\frac {n(n+1)}{2}}}

Propiedades [18] :

La paridad de un elemento de secuencia cambia con un período de 4: impar, impar, par, par. Ningún número triangular puede (en notación decimal) terminar con los números 2, 4, 7, 9 [19] .

Por brevedad, denotamos el enésimo número triangular: Entonces las fórmulas recursivas son válidas: $norte$ ${\textstyle T_{n}=P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)}{2)).}$

{\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1))

;

T_{2n+1}=3T_{n}+T_{n+1}

Fórmula de Bacher de Meziriac : La fórmula general de un número poligonal se puede transformar para que muestre la expresión de cualquier número poligonal en términos de números triangulares:

{\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-2)T_{n-1}+n= (k-3)T_{n-1}+T_{n}}

(basche)

La suma de dos números triangulares consecutivos da un cuadrado completo ( número cuadrado ):

{\displaystyle T_{n}+T_{n+1}=(n+1)^{2}=P_{n+1}^{(4)))

El teorema de Fermat sobre los números poligonales implica que cualquier número natural puede representarse como la suma de tres números triangulares como máximo.

La suma de una serie finita de números triangulares se calcula mediante la fórmula:

S_{m-1}=1+3+6+\puntos +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6} }

Una serie de recíprocos de números triangulares ( serie telescópica ) converge [20] :

1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\dots =2\sum _{n=1}^{\infty} \left({1 \sobre n}-{1 \sobre n+1}\right)=2

Los números triangulares duplicados dan una secuencia (definida a continuación ) de números rectangulares .

Un número natural es triangular si y solo si el número es cuadrado [21] . $norte$ ${\ estilo de visualización 8N+1}$

Conocido en el misticismo " número de la bestia " (666) es el trigésimo sexto triangular. Es el número triangular más pequeño que se puede representar como una suma de cuadrados de números triangulares [22] : . ${\ estilo de visualización 666 = 15 ^ {2} + 21 ^ {2}}$

Los números triangulares forman la tercera línea diagonal del triángulo de Pascal .

Números cuadrados


$0+\color {azul}1\color {negro}=1$	$1+\color {azul}3\color {negro}=4$	$4+\color {azul}5\color {negro}=9$	$9+\color {azul}7\color {negro}=16$

Los números cuadrados son el producto de dos números naturales idénticos, es decir, son cuadrados perfectos:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400…, … (secuencia A000290 en OEIS ).

n^{2}

Todo número cuadrado, excepto uno, es la suma de dos números triangulares consecutivos [23] :

{\ estilo de visualización n^{2}=T_{n-1}+T_{n))

. Ejemplos: etc

4=1+3;\quad 9=3+6;\quad 16=6+10

La suma de un número cuadrado precedido por un número triangular da un número pentagonal :

{\ estilo de visualización n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)))

Este teorema fue publicado por primera vez por Nicómaco (" Introducción a la Aritmética ", siglo II) [24] .

La suma de los cuadrados de los primeros números naturales se calcula mediante la fórmula [25] : $norte$

{\textstyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6} }}

Una serie de números cuadrados inversos converge [26] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac { 1}{2^{2}}}+\puntos +{\frac {1}{n^{2}}}+\puntos ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Todo número natural se puede representar como la suma de cuatro cuadrados como máximo ( teorema de la suma de cuatro cuadrados de Lagrange ).

Identidad de Brahmagupta-Fibonacci : El producto de la suma de dos números cuadrados y cualquier otra suma de dos números cuadrados se puede representar como la suma de dos números cuadrados.

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}= (ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.

Dado que el segundo término de la derecha puede ser igual a cero, aquí se debe considerar una serie extendida de números cuadrados, comenzando no desde 1, sino desde cero (ver A000290 ).

Ejemplo:

{\ estilo de visualización (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^ {2}}

. Números pentagonales

La secuencia de números pentagonales se ve así:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590…, … ( secuencia OEIS A000326 ).

{\ estilo de texto {\ frac {n (3n-1)} {2}}}

Los números pentagonales están estrechamente relacionados con los triangulares [24] :

P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{ n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac{1}{3}}T_{3n-1}

Como se mencionó anteriormente, un número pentagonal, a partir del segundo número, se puede representar como la suma de un cuadrado y un número triangular:

{\displaystyle P_{n}^{(5)}=n^{2}+T_{n-1))

Si especifica una secuencia más general en la fórmula : ${\ estilo de texto {\ frac {n (3n-1)} {2}}}$ $norte$

n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\puntos

entonces obtenemos números pentagonales generalizados :

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155… ( secuencia OEIS A001318 ).

Leonhard Euler descubrió números pentagonales generalizados en la siguiente identidad :

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-xx^{2}+x^{5}+x^{7}-x ^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots

Las potencias del lado derecho de la identidad forman una secuencia de números pentagonales generalizados [27] . $X$

Números hexagonales 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780…, … ( secuencia OEIS A000384 ).

2n^{2}-n

La sucesión de números hexagonales se obtiene a partir de la sucesión de números triangulares eliminando elementos con números pares [28] : . ${\displaystyle P_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(3)))$

Un número natural es hexagonal si y solo si el número es natural . $norte$ ${\textstyle {\frac {{\sqrt {8N+1}}+1}{4}}}$

Números heptagonales Números octagonales Números dodecagonales

Los números dodecagonales se calculan con la fórmula : $5n^{2}-4n$

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, 1920… ( secuencia OEIS A051624 ).

En el sistema decimal , el -ésimo número dodecagonal termina en el mismo dígito que el número mismo . Esto se sigue de la comparación obvia : de donde obtenemos: ■ . $norte$ $norte$ $5n(n-1)\equiv 0{\pmod {10)),$ $5n^{2}-4n\equiv n{\pmod {10))$

Determinar si un número dado es poligonal

Problema 1 (Problema de Diofanto): dado un número natural . Determine si es un número poligonal y, de ser así, para qué y . Diofanto formuló este problema de la siguiente manera: " encontrar cuántas veces aparece un número dado entre todos los números poligonales posibles " [29] . ${\ estilo de visualización N> 2}$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k$ $norte$

La solución del problema se reduce a la solución de la " Ecuación diofántica " (ver fórmula general ):

N=P_{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2)),

o: .

2N-2n=(k-2)(n^{2}-n)

Reescribamos la ecuación resultante en la forma: . $k-2={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}$

Los denominadores de las fracciones de la derecha son primos relativos ; la suma o la diferencia de tales fracciones puede ser un número entero solo si cada fracción es un número entero [30] , por lo que es un múltiplo de , pero un múltiplo de . ${\ estilo de visualización 2N-2}$ $n-1$ $2N$ $norte$

Como resultado, el algoritmo de solución toma la siguiente forma [29] :

Escribe todos los divisores naturales del número (incluido él mismo ). $2N$ $una$ $2N$
Escribe todos los divisores naturales del número . ${\ estilo de visualización 2N-2}$
Seleccione del primer conjunto aquellos números que sean mayores que cualquier número del segundo conjunto. Estos números coinciden . $una$ $norte$
Para cada seleccionado , calcule . $norte$ ${\textstyle k={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}+2}$
Eliminar los pares en los que . $(n,\;k)$ ${\ estilo de visualización k <3}$

Entonces todos los números correspondientes a los pares restantes son iguales . ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $norte$

Ejemplo [29] . deja _ ${\ estilo de visualización N = 105}$

Divisores . $2N=210\colon \quad 1,\;2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;10,\;14,\;15,\;21,\; 30,\;35,\;42,\;70,\;105,\;210$
Divisores . $2N-2=208\colon \quad 1,\;2,\;4,\;8,\;13,\;16,\;26,\;52,\;104,\;208$
selección _ ${\ estilo de visualización n = 2, \; 3, \; 5, \; 14, \; 105}$
En consecuencia . El último valor debe descartarse. $k=105,\;36,\;12,\;14,\;2$

Respuesta: se puede representar como , es decir, como el segundo número de 105 ángulos, el tercero de 36 ángulos, el quinto de 12 ángulos y el 14 de 14 ángulos. $105$ $P_{2}^{(105)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14 )}$

Tarea 2 : dado un número natural , debe determinar si es un número de carbón . A diferencia de la tarea 1, aquí se da. ${\ estilo de visualización N> 2,}$ $k$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k$

Para la solución, puede usar la identidad de Diofanto [31] :

{\displaystyle 8(k-2)P_{n}^{(k)}+(k-4)^{2}=(2n(k-2)-(k-4))^{2))

Esta identidad se obtiene de la fórmula general anterior para ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ y es equivalente a ella. La solución se sigue de la identidad: si hay un número -coal, es decir, para algún , entonces hay algún número cuadrado y viceversa. En este caso, el número se encuentra mediante la fórmula [31] : $norte$ $k$ ${\displaystyle N=P_{n}^{(k)))$ $norte,$ ${\ estilo de visualización 8 (k-2) N + (k-4) ^ {2))$ $R^2$ $norte$

{\ estilo de texto n = {\ frac {R + k-4} {2k-4}}}

Ejemplo [31] . Determinemos si el número tiene 10 lados. El valor aquí es igual, por lo que la respuesta es sí. por lo tanto, es el vigésimo número de 10 ángulos. ${\ estilo de visualización 1540}$ ${\ estilo de visualización 8 (k-2) N + (k-4) ^ {2))$ $98596=314^{2},$ ${\ estilo de visualización n = 20,}$ ${\ estilo de visualización 1540}$

Función generadora

La serie de potencias , cuyos coeficientes son números de carbón, converge en : $k$ $|x|<1$

{\textstyle P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+\dots = {\frac{x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3))))

La expresión de la derecha es la función generadora de la secuencia de números -coal [32] . $k$

El aparato de funciones generadoras permite aplicar los métodos de análisis matemático en teoría de números y combinatoria . La fórmula anterior también explica la aparición de números -coal entre los coeficientes de la serie de Taylor para varias fracciones racionales. Ejemplos: $k$

en : ;

k=3

{\textstyle \qquad {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}x^{2 }+P_{3}^{(3)}x^{3}+\puntos +P_{n}^{(3)}x^{n}+\puntos }

en : ;

k=4

{\textstyle \qquad {\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4) }x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+\puntos +P_{n}^{(4)}x^{n}+\puntos }

en :

{\ estilo de visualización k = 5}

{\textstyle \qquad {\frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5) }x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+\puntos +P_{n}^{(5)}x^{n}+\puntos }

etc.

Para algunas clases de números poligonales, existen funciones generadoras específicas. Por ejemplo, para números triangulares cuadrados , la función generadora tiene la siguiente forma [33] : ${\ estilo de visualización 1, \; 36, \; 1225, \; 41616, \; 1413721 \ puntos}$

{\textstyle {\frac {x(1+x)}{(1-x)(1-34x+x^{2})}}=x+36x^{2}+1225x^{3}+\puntos }

; la serie converge en .

{\ estilo de visualización | x | <17-12 {\ sqrt {2}}}

Números poligonales clásicos de más de una variedad

Hay un número infinito de números "multifigurados" (o "multipoligonales") [34] , es decir, números que pertenecen simultáneamente a varias variedades diferentes de números rizados. Por ejemplo, hay números triangulares que también son cuadrados (" números triangulares cuadrados ") [35] :

{\ estilo de visualización 1, \; 36, \; 1225, \; 41616, \; 1413721 \ puntos}

(secuencia A001110 en OEIS ).

El número triangular también puede ser al mismo tiempo

pentagonal (secuencia A014979 en OEIS ):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465…;

hexagonal (todos los números triangulares con un número impar);
heptagonal (secuencia A046194 en OEIS ):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 180458407386358101…

etc. No se sabe si existen números que sean a la vez triangulares, cuadrados y pentagonales; una prueba de computadora de números más pequeños que ese no reveló tal número, pero no se ha probado que no haya ninguno [34] . ${\ estilo de visualización 10^{22166},}$

Un número cuadrado puede ser al mismo tiempo

pentagonal (secuencia A036353 en OEIS ):

1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801…,

hexagonal (secuencia A046177 en OEIS ):

1 1225 1413721 1631432881 1882672131025 2172602007770041 2507180834294496361 2893284510173841030625…,

heptagonal (secuencia A036354 en OEIS ):

1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449…

etc.

Un número pentagonal puede ser simultáneamente:

hexagonal (secuencia A046180 en OEIS ):

1, 40755 1533776805, 57722156241751

heptagonal (secuencia A048900 en OEIS ):

1, 4347, 16701685, 64167869935, 246532939589097, 947179489733441251, 3639063353022941697757…

etc.

Un número hexagonal es necesariamente también triangular; también puede ser heptagonal al mismo tiempo (secuencia A48903 en OEIS ):

1, 121771, 12625478965, 1309034909945503, 135723357520344181225, 14072069153115290487843091…

También son posibles otras combinaciones de tres o más tipos de números figurativos. Por ejemplo, como se demostró anteriormente , el número viene en cuatro variedades: para obtener una lista completa de tales combinaciones, desde números triangulares hasta números de 16 gonales, consulte la secuencia A062712 en OEIS . $105$ $P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{2}^{(105 )}.$

Tabla dinámica

k	Variedad de números rizados	Formula general	norte										Suma de recíprocos [36]	Número OEIS
k	Variedad de números rizados	Formula general	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez	Suma de recíprocos [36]	Número OEIS
3	triangular	una2( norte 2 + norte )	una	3	6	diez	quince	21	28	36	45	55	2	A000217
cuatro	cuadrado	una2( 2n2 − 0n ) = n2 _	una	cuatro	9	dieciséis	25	36	49	64	81	100	$\Pi$ 26	A000290
5	pentagonal	una2(3 norte 2 - norte )	una	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3\ln 3-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{3}}$	A000326
6	hexagonal	una2( 4n2 − 2n ) _	una	6	quince	28	45	66	91	120	153	190	2 en 2	A000384
7	heptagonal	una2( 5n2 − 3n ) _	una	7	Dieciocho	34	55	81	112	148	189	235	${\tfrac {\pi }{3}}{\sqrt {1-{\tfrac {2}{\sqrt {5}}}}}$ $+{\tfrac {5}{6}}\ln 5-{\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\ln \left({\tfrac {1+{\sqrt {5}} {2}}\derecho)$	A000566
ocho	octagonal	una2( 6n2 − 4n ) _	una	ocho	21	40	sesenta y cinco	96	133	176	225	280	3cuatroen 3 + $\Pi$ √ 312	A000567
9	no angular	una2( 7n2 − 5n ) _	una	9	24	46	75	111	154	204	261	325	${\tfrac {1}{5}}(2\ln 14+4\cos {\tfrac {\pi }{7}}\ln \cos {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\ln \sin {\tfrac {\pi }{7}}\sin {\tfrac {\pi }{14}}-\ln \cos {\tfrac {\pi }{14}}\sin {\tfrac {3\pi} {14}}$ $+\pi \operatorname {tg} {\tfrac {3\pi }{14)))$	A001106 A244646
diez	decagonal	una2( 8n2 − 6n ) _	una	diez	27	52	85	126	175	232	297	370	en 2 + $\Pi$ 6	A001107
once	11-carbón	una2( 9n2 − 7n ) _	una	once	treinta	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	12 carbones	una2( 10n2 − 8n ) _	una	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	13-carbón	una2( 11n2 − 9n ) _	una	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
catorce	14-carbón	una2( 12n2 − 10n ) _	una	catorce	39	76	125	186	259	344	441	550	25en 2 +3diezen 3 + $\Pi$ √ 3diez	A051866
quince	15-carbón	una2( 13n2 − 11n ) _	una	quince	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
dieciséis	16-carbón	una2( 14n2 − 12n ) _	una	dieciséis	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	17-carbón	una2( 15n2 − 13n ) _	una	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
Dieciocho	18-carbón	una2( 16n2 − 14n ) _	una	Dieciocho	51	100	165	246	343	456	585	730	cuatro7registro 2 -√2 _catorceregistro (3 − 2 √ 2 ) + $\Pi$ ( 1 + √2 )catorce	A051870
19	19-carbón	una2( 17n2 − 15n ) _	una	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
veinte	octagonal	una2( 18n2 − 16n ) _	una	veinte	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	21-carbón	una2( 19n2 − 17n ) _	una	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
1000	1000-carbón	una2( 998n2 − 996n ) _	una	1000	2997	5992	9985	14976	20965	27952	35937	44920		A195163
10000	10000-carbón	una2(9998 norte 2 − 9996 norte )	una	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Números poligonales centrados

Definición

Los números de ángulo centrado ( ) son una clase de números con forma obtenidos por la siguiente construcción geométrica. Primero, se fija un cierto punto central en el plano. Luego se construye un k -gon regular alrededor de él con puntos de vértice, cada lado contiene dos puntos (ver figura). Además, se construyen nuevas capas -gons en el exterior, y cada uno de sus lados en la nueva capa contiene un punto más que en la capa anterior, es decir, a partir de la segunda capa, cada capa siguiente contiene más puntos que la anterior. El número total de puntos dentro de cada capa y se toma como un número poligonal centrado (el punto en el centro se considera la capa inicial) [37] . $k$ $k \geqslant 3$ $k$ $k$ $k$

Ejemplos de números poligonales centrados en la construcción:

triangular	Cuadrado	Pentagonal	Hexagonal

De la construcción se puede ver que los números poligonales centrados se obtienen como sumas parciales de las siguientes series: (por ejemplo, números cuadrados centrados, para los cuales forman una secuencia: ) Esta serie se puede escribir como , de donde se puede ver que entre paréntesis es una serie generatriz para números triangulares clásicos (ver Fig. arriba ). Por lo tanto, cada secuencia de números angulares centrados, a partir del segundo elemento, se puede representar como , donde es una secuencia de números triangulares. Por ejemplo, los números cuadrados centrados son números triangulares cuádruples más , la serie generadora para ellos es: [38] ${\ estilo de visualización 1+k+2k+3k+4k+\puntos}$ ${\ estilo de visualización k = 4,}$ $1,5,13,25,41\puntos$ $1+k(1+2+3+4+\puntos)$ $k$ $kT_{n-1}+1$ $T_{n}~(n=1,\;2,\;3\puntos)$ $una$ ${\ estilo de visualización 1+4+8+12\puntos}$

A partir de la fórmula anterior para números triangulares, se puede expresar la fórmula general para el número -gonal centrado [38] : $norte$ $k$ ${\displaystyle C_{n}^{(k)))$

{\textstyle C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2))={\frac {kn^{2}-kn+2}{2} };\ n=1,\;2,\;3\puntos }

(OCF)

La función generadora para números poligonales centrados tiene la forma [39] :

{\textstyle f(x)={\frac {x(1+(k-2)x+x^{2})}{(1-x)^{3))};\quad |x|<1 }

Variedades de números poligonales centrados

Números triangulares centrados

$norte$ El enésimo número triangular centrado en orden viene dado por la fórmula:

{\textstyle C_{n}^{(3)}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Consecuencia (para ): . $n>1$ ${\estilo de texto C_{n}^{(3)}=3T_{n-1}+1}$

Los primeros elementos de la sucesión de números triangulares centrados son:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571…, ( secuencia OEIS A005448 ).

{\ estilo de texto {\ frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Algunas propiedades [40]

Todo número triangular centrado, a partir de 10, es la suma de tres números triangulares clásicos consecutivos: $C_{n}^{(3)}=P_{n}^{(3)}+P_{n-1}^{(3)}+P_{n-2}^{(3)} .$
Se puede ver por la consecuencia de la fórmula general que cada número triangular centrado , cuando se divide por 3, da un resto de 1, y el cociente (si es positivo) es el número triangular clásico . ${\displaystyle C_{n}^{(3)))$ ${\ Displaystyle T_ {n-1}}$
Algunos números triangulares centrados son primos [10] : 19, 31, 109, 199, 409… (secuencia A125602 en OEIS ).

Números cuadrados centrados

una		5		13		25

$norte$ El número (cuadrado) de 4 ángulos centrado en orden viene dado por la fórmula:

{\textstyle C_{n}^{(4)}={(2n-1)^{2}+1 \over 2}=2n^{2}-2n+1=(n-1)^{2} +n^{2}}

Los primeros elementos de la secuencia de números cuadrados centrados son:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761…, ( secuencia OEIS A001844 ).

n^{2}+(n-1)^{2}\puntos

Algunas propiedades [41]

Como se puede ver en la fórmula general , un número cuadrado centrado es la suma de dos cuadrados consecutivos.
Todos los números cuadrados centrados son impares y el último dígito en su representación decimal cambia en un ciclo: 1-5-3-5-1.
Todos los números cuadrados centrados y sus divisores dejan un resto de 1 cuando se dividen por 4, y cuando se dividen por 6, 8 o 12 dan un resto de 1 o 5.
Todos los números cuadrados centrados excepto el 1 representan la longitud de la hipotenusa en una de las ternas pitagóricas (por ejemplo, 3-4-5, 5-12-13). Por lo tanto, cada número cuadrado centrado es igual al número de puntos dentro de una distancia dada, en bloques, desde el punto central de la cuadrícula cuadrada.
La diferencia entre dos números octogonales clásicos sucesivos es un número cuadrado centrado.
Algunos números cuadrados centrados son primos (como se muestra arriba, los números cuadrados clásicos, comenzando desde el tercero en orden, son obviamente compuestos). Ejemplos de números cuadrados centrados simples:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613… ( secuencia OEIS A027862 ). Números pentagonales centrados

$norte$ El enésimo número pentagonal centrado en orden viene dado por la fórmula:

{\textstyle C_{n}^{(5)}={\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

Varios primeros números pentagonales centrados:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951…, … ( secuencia OEIS A005891 )

{\estilo de texto {\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

La paridad de los números pentagonales centrados cambia según la regla: par-par-impar-impar, y el último dígito decimal cambia en un ciclo: 6-6-1-1.

Algunos números pentagonales centrados son primos [10] : 31, 181, 331, 391, 601. . . (secuencia A145838 en OEIS ).

Números hexagonales centrados

$norte$ El enésimo número hexagonal centrado en orden viene dado por la fórmula:

C_{n}^{(6)}=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1

Varios primeros números hexagonales centrados:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919… … (secuencia A003215 en OEIS ).

{\ estilo de visualización 1+3n(n-1)}

Algunas propiedades [42]

El último lugar decimal de los números hexagonales centrados cambia en un ciclo 1-7-9-7-1.
La suma de los primeros n números hexagonales centrados es igual al " número cúbico " . $n ^ 3$
La igualdad recursiva es verdadera: . $C_{n}^{(6)}=2C_{n-1}^{(6)}-C_{n-2}^{(6)}+6$
Algunos números hexagonales centrados son primos [10] : 7, 19, 37, 61, 127… (secuencia A002407 en OEIS ).

Números heptagonales centrados

$norte$ El enésimo número heptagonal centrado en orden viene dado por la fórmula . También se puede calcular multiplicando un número triangular por 7, sumando 1. ${\ estilo de texto {\ frac {7n^{2}-7n+2}{2))}$ $(n-1)$

Varios primeros números heptagonales centrados:

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953…, … (secuencia A069099 en OEIS ).

{\ estilo de texto {\ frac {7n^{2}-7n+2}{2))}

La paridad de los números heptagonales centrados cambia en el ciclo impar-par-par-impar.

Algunos números heptagonales centrados son primos [10] :

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697… ( secuencia OEIS A144974 ).

También hay números heptagonales centrados incluidos en pares de primos gemelos :

43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651… ( secuencia OEIS A144975 ). Números octagonales centrados

$norte$ El número octogonal centrado en el orden th está dado por . $(2n-1)^{2}=4n^{2}-4n+1$

Varios primeros números octagonales centrados:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089. Algunas propiedades [43]

Todos los números octagonales centrados son impares y su último dígito decimal cambia en un ciclo de 1-9-5-9-1.
El número octogonal centrado es lo mismo que el clásico número cuadrado impar: en otras palabras, un número impar es un número octogonal centrado si y solo si es el cuadrado de un número entero. $C_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(4)}.$
De la propiedad anterior se sigue que todos los números octagonales centrados excepto el 1 son compuestos.

Números no hexagonales centrados

$norte$ El enésimo número de nueve ángulos centrado en el orden está determinado por la fórmula general . ${\ estilo de visualización {\ frac {(3n-2)(3n-1)}{2))}$

Multiplicando el -ésimo número triangular por 9 y sumando 1, obtenemos el -ésimo número hexagonal centrado, pero también hay una conexión más simple con los números triangulares: cada tercer número triangular (1, 4, 7, etc.) también es un número centrado número no agonal, y de esta manera se pueden obtener todos los números no angulares centrados. Notación formal: . $(n-1)$ $norte$ ${\displaystyle C_{n}^{(9)}=P_{3n-2}^{(3)))$

Primeros números de nueve ángulos centrados:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946… ( secuencia OEIS A060544 ).

Con la excepción del 6, todos los números perfectos pares también son números hexagonales centrados. En 1850, el matemático aficionado Frederick Pollock sugirió , lo que aún no ha sido probado ni refutado, que cualquier número natural es la suma de un máximo de once números nuevegonales centrados [44] .

De la fórmula general se sigue que todos los números de nueve ángulos centrados, excepto el 1, son compuestos.

Números decagonales centrados

$norte$ El enésimo número decagonal centrado en orden viene dado por la fórmula . $5(n^{2}-n)+1$

Los primeros representantes de los números decagonales centrados:

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051… ( secuencia OEIS A062786 ).

5(n^{2}-n)+1

Al igual que otros números k -gonales, el -ésimo número decagonal centrado se puede calcular multiplicando el -ésimo número triangular por , en nuestro caso 10, y luego sumando 1. Como consecuencia, los números decagonales centrados se pueden obtener simplemente sumando 1 al Representación decimal del número. Por lo tanto, todos los números decagonales centrados son impares y siempre terminan en 1 en representación decimal. $norte$ $(n-1)$ $k$

Algunos de los números decagonales centrados son primos, por ejemplo:

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281… ( secuencia OEIS A090562 ).

Números poligonales, tanto clásicos como centrados

Algunos números poligonales centrados coinciden con los clásicos, por ejemplo: ; por brevedad, llamaremos doble a tales números poligonales . ${\ estilo de visualización 1, \; 10, \; 25, \; 51}$

1. Números dobles con un parámetro común (número de esquinas): la identidad [45] se cumple :

k

C_{k}^{(k)}=P_{k+1}^{(k)}\quad

. 2. Números triangulares dobles con diferente Ejemplo: (secuencia A128862 en OEIS ). Para encontrarlos, necesitas resolver la ecuación diofántica :

k.

{\ estilo de visualización 1, \; 10, \; 136, \; 1891, \; 26335 \ puntos}

m^{2}+m=3n^{2}-3n+2,

entonces _ Algunas soluciones:

{\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n}^{(3)))

m=1,\;4,\;16,\;61,\;229\puntos

(secuencia A133161 en OEIS ), respectivamente:

{\ estilo de visualización n = 1, \; 3, \; 10, \; 36, \; 133 \ puntos}

(secuencia A102871 en OEIS ). 3. Números cuadrados clásicos que son números triangulares centrados. Están determinados por la ecuación diofántica:

{\textstyle m^{2}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}.\quad }

entonces _

{\displaystyle C_{m}^{(3)}=P_{n}^{(4)))

Soluciones:

m=1,\;2,\;8,\;19,\;79\puntos

(secuencia A129445 en OEIS ), respectivamente

{\ estilo de visualización n = 1,2,7,16,65\puntos}

Los primeros números son:

{\ estilo de visualización 1, \; 4, \; 64, \; 361, \; 6241 \ puntos}

4. Triangulares clásicos, que son números hexagonales centrados. Los primeros de estos números son: (secuencia A006244 en OEIS ). Están determinados por la ecuación diofántica:

{\ estilo de visualización 1,\;91,\;8911,\;873181,\;85562821\puntos}

{\frac {m(m+1)}{2}}=3n^{2}+3n+1.\quad

entonces _

{\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n+1}^{(6)))

Soluciones:

m=1,13,133,1321,13081\puntos

(secuencia A031138 en OEIS );

{\ estilo de visualización n = 0, \; 5, \; 54, \; 539, \; 5340 \ puntos}

(secuencia A087125, en OEIS ). 5. Números cuadrados clásicos que son números hexagonales centrados. Los primeros de tales números son: (secuencia A006051 en OEIS ). Están determinados por la ecuación diofántica:

{\ estilo de pantalla 1, \; 169, \; 32761, \; 6355441, \; 1232922769 \ puntos}

m^{2}=3n^{2}+3n+1.\quad

entonces _

{\displaystyle P_{m}^{(4)}=C_{n+1}^{(6)))

Soluciones:

m=1,\;13,\;181,\;2521,\;35113\puntos

(secuencia A001570 en OEIS );

{\ estilo de visualización n = 0,\;7,\;104,\;1455,\;20272\puntos}

(secuencia A001921, en OEIS ).

Números figurativos espaciales

Junto con los números figurativos considerados anteriormente para figuras planas, se pueden definir sus análogos espaciales o incluso multidimensionales. Ya los matemáticos antiguos estudiaban los números tetraédricos y piramidales cuadrados . Es fácil determinar los números asociados a las pirámides , que se basan en cualquier otro polígono, por ejemplo:

Número de pirámide pentagonal .
Número piramidal hexagonal .
Número de pirámide heptagonal .

Otras variedades de números figurativos espaciales se asocian con los poliedros clásicos .

Números piramidales

Los números piramidales se definen de la siguiente manera:

$norte$ El enésimo número piramidal en orden k -gonal es la suma de los primeros números figurativos planos con el mismo número de ángulos : ${\ estilo de visualización \ Pi _ {n} ^ {(k)))$ $norte$ $k$

\Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\ puntos +P_{n}^{(k)}

Geométricamente, un número piramidal se puede representar como una pirámide de capas (ver figura), cada una de las cuales contiene desde 1 (capa superior) hasta bolas (inferior). ${\ estilo de visualización \ Pi _ {n} ^ {(k)))$ $norte$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$

Por inducción, no es difícil probar la fórmula general del número piramidal, que ya conocía Arquímedes [46] :

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6))

(OPF)

El lado derecho de esta fórmula también se puede expresar en términos de números poligonales planos:

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac { n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)

Existe un análogo tridimensional de la fórmula de Nicómaco para los números piramidales [47] :

{\displaystyle \Pi _{n}^{(k+1)}=\Pi _{n}^{(k)}+\Pi _{n-1}^{(3)))

La función generadora de números piramidales tiene la forma [48] :

f(x)={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{4}}};\quad |x|<1

. Números piramidales triangulares (tetraédricos)

Los números piramidales triangulares, también llamados números tetraédricos , son números figurativos que representan un tetraedro , es decir, una pirámide, en cuya base se encuentra un triángulo. De acuerdo con la definición general anterior de números piramidales, el orden e del número tetraédrico se define como la suma de los primeros números triangulares : $norte-$ $norte$

{\displaystyle \Pi _{n}^{(3)}=T_{1}+T_{2}+\puntos +T_{n))

Fórmula general para el número tetraédrico: . $\Pi _{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6))$

Los primeros números tetraédricos:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969… ( secuencia OEIS A000292 ).

Curiosamente, el quinto número es igual a la suma de todos los anteriores.

Existe un análogo tridimensional de la fórmula de Basche de Meziriac , a saber, la expansión de un número piramidal arbitrario en números tetraédricos [47] :

{\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}=\Pi _{n}^{(3)}+(k-3)\Pi _{n-1}^{(3)))

Cinco números tetraédricos son triangulares al mismo tiempo (secuencia A027568 en OEIS ):

1, 10, 120, 1540, 7140.

Solo tres números tetraédricos son números cuadrados (secuencia A003556 en OEIS ):

{\ estilo de visualización 1 ^ {2} = 1}

, , .

{\ estilo de visualización 2 ^ {2} = 4}

{\ estilo de visualización 140 ^ {2} = 19 \, 600}

Una de las "conjeturas " de Pollock (1850): todo número natural puede representarse como la suma de cinco números tetraédricos como máximo. Todavía no se ha probado, aunque se ha probado para todos los números menores de 10 mil millones [49] [50] .

Números piramidales cuadrados

Los números piramidales cuadrados a menudo se denominan brevemente simplemente números piramidales. Para ellos, la pirámide tiene una base cuadrada. Secuencia de inicio:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819… ( secuencia OEIS A000330 ).

La fórmula general para un número piramidal cuadrado es: . $\Pi _{n}^{(4)}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6))$

El número piramidal cuadrado también expresa el número total de cuadrados [51] en una cuadrícula cuadrada . ${\ estilo de visualización \ Pi _{n} ^ {(4)))$ $n\veces n$

Existe la siguiente relación entre los números piramidales cuadrados y triangulares [52] :

{\displaystyle 4\Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{2n}^{(3)))

Se señaló anteriormente que la suma de números triangulares sucesivos es un número cuadrado; de manera similar, la suma de números tetraédricos sucesivos es un número piramidal cuadrado [52] : . ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{n}^{(3)}+\Pi _{n-1}^{(3)))$

Números poliédricos

Por analogía con los números cuadrados, puede introducir "números cúbicos" así como números correspondientes a otros poliedros regulares e irregulares, por ejemplo, sólidos platónicos : $Q_{n}=n^{3},$

También se proporcionan opciones centradas.

Números cúbicos

Los números cúbicos son el producto de tres números naturales idénticos y tienen forma general Valores iniciales: $Q_{n}$ $Q_{n}=n^{3}.$

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000. . . (secuencia A000578 en OEIS ).

El número cúbico se puede expresar como la diferencia de los cuadrados de números triangulares sucesivos [53] :

{\displaystyle Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2))

, .

n\geqslant 2

Corolario: la suma de los primeros números cúbicos es igual al cuadrado del enésimo número triangular: $norte$ $norte$

{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\dots +Q_{n}=(T_{n})^{2))

La diferencia entre dos números cúbicos vecinos es un número hexagonal centrado. Corolario: la suma de los primeros números hexagonales centrados es un número cúbico [53] . $norte$ $Q_{n}$

Expresión del número cúbico en términos de tetraédrico [53] :

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, donde .

norte > 2

Una de las " conjeturas de Pollock " (1850): todo número natural puede representarse como la suma de nueve números cúbicos como máximo. Comprobado a principios del siglo XX. Por lo general, siete cubos son suficientes, pero 15 números requieren ocho (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, secuencia A018889 en OEIS ), y dos se necesitan los nueve: 23 y 239. Si, además de la suma, se permite la resta, entonces cinco cubos son suficientes (posiblemente incluso cuatro, pero esto aún no se ha probado) [54] .

La función generadora de números cúbicos tiene la forma [53] :

{\displaystyle f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4))))

; .

|x|<1

Números octaédricos Números dodecaédricos Números icosaédricos

Generalizaciones multidimensionales

Las estructuras tridimensionales descritas anteriormente se pueden generalizar a cuatro o más dimensiones. Un análogo de los números tetraédricos en el espacio bidimensional son los " números simplex ", también llamados hipertetraédricos [55] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!)))

Sus casos especiales son:

$S_{n}^{[2]}$ son numeros triangulares
$S_{n}^{[3]}$ son números tetraédricos .
$S_{n}^{[4]}$ son números de pentátopo .

Otras variedades de números multidimensionales son hipercúbicos : . Los números hipercúbicos de cuatro dimensiones se denominan bicuadrados [55] . ${\displaystyle Q_{n}^{[d]}=n^{d))$ ${\ estilo de visualización (d = 4)}$

Números de más de una variedad

Algunos números figurativos pueden pertenecer a más de un tipo de números planos y/o multidimensionales, ya se han dado ejemplos de números planos anteriormente . Para números multidimensionales, esta es una situación bastante rara [56] .

Cinco números (y solo ellos) son triangulares y tetraédricos (secuencia A027568 en OEIS ). ${\ estilo de visualización 1,10,120,1540,7140}$
Los cuatro números son triangulares y piramidales cuadrados (secuencia A039596 en OEIS ). ${\ estilo de visualización 1,55,91,208335}$
Tres números son cuadrados planos y tetraédricos (secuencia A003556 en OEIS ). ${\ estilo de visualización 1,4,19600}$
Dos números son a la vez cuadrados planos y cuadrados piramidales. Esta declaración se conoció como " hipótesis de Luc " o " el problema de la bala de cañón " (1875). La solución completa fue dada en 1918 por George Neville Watson [57] . ${\ estilo de visualización 1,4900}$

Ningún número natural, excepto el 1, puede ser simultáneamente [58] [56] :

triangular y cúbico;
triangular y bicuadrática [59] ;
triangular y la quinta potencia de un número entero [58] ;
hexagonal y cúbica centrada.

En 1988, F. Bakers y J. Top demostraron que ningún número distinto de 1 puede ser tetraédrico y piramidal cuadrado [60] . También se ha probado que no hay números que simultáneamente [56] :

tetraédrica y cúbica;
cuadrado piramidal y cúbico;
tetraédrico y bicuadrático;
piramidal cuadrada y bicuadrada.

Tipos arcaicos de números rizados

En la antigüedad, cuando la aritmética no estaba separada de la geometría, los pitagóricos (siglo VI aC) distinguieron varios tipos más de números figurativos [61] .

Los números lineales son números “medidos sólo por una unidad”, es decir, en terminología moderna, números primos (Euclides usa el término “ primeros números ”, otro griego πρώτοι αριθμοί ).
Los números planos (o planos) son números que se pueden representar como un producto de dos factores mayor que uno, es decir, compuestos .
- Un caso especial son los números rectangulares (a veces llamados " oblongos " en las fuentes ), que son el producto de dos enteros consecutivos [62] , es decir, que tienen la forma ${\ estilo de visualización n (n + 1), n \ geqslant 0.}$
Los números sólidos son números que se pueden representar como un producto de tres factores mayores que uno.

El comentarista de Euclides D. D. Mordukhai-Boltovskoy explica [63] :

Los términos "plano" y número "sólido" son probablemente una reliquia de un período anterior del pensamiento matemático, cuando el número y la imagen geométrica estaban aún más estrechamente relacionados, cuando el producto del número de objetos por un número abstracto se consideraba como el disposición de estos objetos en filas de objetos en cada uno, con relleno en el área del rectángulo. Lo mismo debe decirse del producto de tres números que, según la terminología euclidiana, es un número sólido. $a$ $b$ $b$ $a$

En la actualidad, los números primos no se clasifican como figurativos, y los términos "número plano" y "número sólido" han caído en desuso [63] .

Papel en la teoría de números

Triángulo de Pascal

Los números del triángulo de Pascal muestran una conexión con muchas variedades de números rizados.

En la tercera línea del triángulo de Pascal hay números triangulares, y en la cuarta, números tetraédricos (ver figura). Esto se debe a que el -ésimo número tetraédrico es la suma de los primeros números triangulares, que se encuentran en la tercera línea. Del mismo modo, los números del pentátopo de cuatro dimensiones se ubican en la quinta línea , etc. Todos ellos, como otros números dentro del triángulo de Pascal, son coeficientes binomiales . $norte$ $norte$

Así, todos los elementos internos del triángulo de Pascal son números figurativos, y se representan sus diversas variedades. A lo largo de cada línea, de izquierda a derecha, hay números hipertetraédricos de dimensión creciente. Se sabe que la suma de todos los números de la fila th es igual , por lo tanto, la suma de todos los números de la primera fila es igual al número de Mersenne , por lo tanto, el número de Mersenne se puede representar como la suma de números hipertetraédricos. [64] . $norte$ ${\ estilo de visualización 2^{n},}$ $norte$ ${\ estilo de visualización M_ {n}.}$

Otros usos

Muchos teoremas de la teoría de números se pueden formular en términos de números en espiral. Por ejemplo, la conjetura catalana establece que entre números hipercúbicos de dimensiones arbitrarias, solo un par difiere en 1: (probado en 2002) [65] . ${\ estilo de visualización 3^{2}=2^{3}+1}$

Cualquier número par perfecto es triangular [66] (y al mismo tiempo hexagonal, y el número del número hexagonal es una potencia de dos). Tal número no puede ser simultáneamente un número cuadrado, cúbico u otro número hipercúbico [67] .

Conjetura de Legendre (1808, también conocida como el tercer problema de Edmund Landau ): siempre hay un número primo entre números cuadrados sucesivos . Todavía no probado.

La suma de los primeros números triangulares centrados es la "constante mágica" para el cuadrado mágico de dimensión . Otras formas de obtener la misma constante son a través de un número triangular , o sumando todos los números naturales desde hasta [68] inclusive . $norte$ ${\ estilo de visualización (n> 2)}$ $n\veces n$ ${\frac{T_{n^{2}}}{n}}$ ${\ Displaystyle T_ {n-1}}$ $Tennesse}$

Un número de Mersenne mayor que 1 no puede ser cuadrado, cúbico o hipercúbico, pero puede ser triangular. Solo existen cuatro números triangulares de Mersenne: , su búsqueda equivale a resolver la ecuación de Ramanujan-Nagel en números naturales : . Resulta que la solución a esta ecuación existe solo para (secuencia A060728 en OEIS ), y para , el número de Mersenne correspondiente será entonces triangular [64] . ${\ estilo de visualización 1,3,5,4095}$ ${\ estilo de visualización 2^{n}-7=x^{2}}$ ${\ estilo de visualización n = 3,4,5,7,15}$ $n>3$ ${\ Displaystyle M_ {n-3}}$

El número de Fermat tampoco puede ser cuadrado, cúbico o hipercúbico, pero en el único caso puede ser triangular: . El número de Fermat tampoco puede ser tetraédrico e hipertetraédrico de ninguna dimensión superior a 2 [64] . ${\ estilo de visualización F_ {0} = 3}$

Entre los números de Fibonacci, solo hay tres números cuadrados (0, 1 y 144) y cuatro triangulares (1, 3, 21, 55, secuencia OEIS A039595 ). Si gira el triángulo de Pascal como se muestra en la figura, los números de Fibonacci se pueden obtener como sumas a lo largo de las diagonales ascendentes; este hecho da la expansión del número de Fibonacci en términos de números hipertetraédricos [69] .

Entre los números de Lucas hay dos números cuadrados (1 y 4), y tres triangulares (1, 3, 5778) [69] .

Los números catalanes se expresan en términos de números hipertetraédricos de la siguiente manera [70] : $Gato_{n}$

Cat_{n}=S_{n+1}^{[n]}-S_{n+2}^{[n-1]}

Otra clase de números estrechamente relacionados con los números en espiral son los números de Stirling del segundo tipo . Esta clase incluye todos los números triangulares: , y la expresión es igual al segundo número hipercúbico dimensional . Finalmente, cualquier número hipercúbico bidimensional se puede expandir de la siguiente manera [70] : $S(n,m)$ $T_{n}=S(n+1,n)$ ${\ estilo de visualización S (n, 2) + 1}$ $norte$ $Q_{2}^{[n]}$ $norte$ $S(n,m)$

{\displaystyle Q_{n}^{[d]}=\sum _{m=0}^{d}{S(d,m)n(n-1)\dots (n-m+1)))

Notas

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↑ De hecho, sea (todos los números son enteros) un número entero , y , son coprimos. Multiplicando ambos lados por , obtenemos: . A la derecha es un número entero, por lo tanto se divide y, según el lema generalizado de Euclides , se divide . ${\frac{a}{n_{1}}}+{\frac{b}{n_{2}}}$ $k$ $n_{1}$ $n_{2}$ $n_{1}$ ${\frac{bn_{1}}{n_{2}}}=Kn_{1}-a$ $n_{2}$ ${\ Displaystyle bn_ {1}}$ $n_{2}$ $b$
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Literatura

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Enlaces

Números rizados . Grupo Editorial OSNOVA. Fecha de acceso: 10 de febrero de 2021. (Ruso)
Weisstein, Eric W. Figurate Number (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- Weisstein, Eric W. Centered Polygonal Numbe (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 7532594-9

números rizados

plano

Poligonal clásico	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal dodecagonal
Centrado	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal Nueve ángulos Decagonal

Piramidal	tetraédrico piramidal cuadrada
multifacético	cúbico Octaédrico dodecaédrico icosaédrico octaédrico estrellado

multifacético	pentatópico Bicuadrado

Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
Filas, básico	Suma de fila El resto de la fila Convergencia Condicional serie alterna Fila multisección
Series numéricas ( operaciones con series numéricas )	serie armónica Serie de Leibniz Una serie de cuadrados inversos. Una serie de números primos recíprocos. Fila de Dirichlet serie Mercator Fila Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
filas funcionales	Serie Taylor serie laurent series de Fourier Serie trigonométrica de Fourier serie trigonométrica serie de salchichas
Otros tipos de fila	serie de Neumann Fila de puiseux