Teorema de Hobby-Rice

El teorema de Hobby-Rice apareció por primera vez y se demostró en 1965 [1] al considerar cuestiones de aproximación óptima de funciones en un espacio de Labesgue . Pinkus [2] dio una prueba más simple del teorema en 1976. También se utiliza en problemas de división justa . $L_{1}$

Teorema (versión adaptada)

Dividamos el segmento [0,1] por una secuencia de números en subintervalos: ${\ estilo de visualización \ {z_ {i} \))$ $k+1$

0=z_{0}<z_{1}<\dotsb <z_{k}<z_{k+1}=1

Definimos una partición firmada como una partición en la que cada subintervalo tiene un signo asociado : $i$ $\delta _{i}$

{\displaystyle \delta _{1},\dotsc ,\delta _{k+1}\in \left\{+1,-1\right\))

El teorema de Hobby-Rice establece que para cualquier k función continuamente integrable:

g_{1},\dotsc,g_{k}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}

hay una partición firmada del segmento [0,1] tal que:

\sum_{i=1}^{k+1}\delta_{i}\!\int_{z_{i-1}}^{z_{i}}g_{j}(z) \,dz=0{\text{ para }}1\leqslant j\leqslant k.

(en otras palabras, para cada una de las k funciones, su integral sobre subintervalos positivos es igual a su integral sobre subintervalos negativos).

El teorema en su configuración original

Deje que existan funciones reales en un espacio de Labesgue , donde hay una medida finita sin átomos en . Entonces existen , , tales que $norte$ ${\displaystyle \left\{\varphi (x)\right\}_{i=1}^{n))$ $L_{1}([0,1],\mu )$ $\mu$ $[0,1]$ ${\displaystyle \{z_{i}\}_{i=1}^{r))$ ${\ estilo de visualización r \ leq n}$ $0=z_{0}<z_{1}<\ldots <z_{r}<z_{r+1}=1$

\sum _{j=1}^{r+1}(-1)^{j}\int _{z_{j-1}}^{z_{j}}\varphi _{i}( x)d\mu (x)=0\qquad i=1,\ldots,n

Teorema generalizado de Hobby-Rice

N. Alon en 1987 al resolver el problema del corte del collar [3] , formuló y demostró el teorema generalizado de Hobby-Rice.

Deje que las medidas de probabilidad continuas se den en el intervalo unitario . Entonces es posible cortar el intervalo unitario en lugares y formar a partir de las piezas resultantes familias tales que para todos . $t$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ ldots, \ mu _ {t}}$ ${\ estilo de visualización (k-1) \ cdot t}$ ${\ estilo de visualización (k-1) \ cdot t + 1}$ $k$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots,F_{k))$ ${\displaystyle \mu _{i}(\cup F_{j})={1 \over k))$ ${\ estilo de visualización 1 \ leq i \ leq t, \ 1 \ leq j \ leq k}$

En el caso, obtenemos el teorema de Hobby-Rice. $k=2$

Uso en problemas de división justa

Sea el segmento [0,1] un pastel . Hay k miembros y cada una de las k características es una función de densidad de valores para un miembro. Necesitamos dividir el pastel en dos partes para que todos los participantes estén de acuerdo en que las partes son del mismo tamaño. Este problema de división justa a veces se denomina problema de bisección coincidente [4] . Del teorema de Hobby-Rice se deduce que esto se puede hacer con k cortes.

Notas

↑ Hobby, Rice, 1965 , pág. 665–670.
↑ Pinkus, 1976 , pág. 82–84.
↑ Solo, 1987 , p. 247–253.
↑ Simmons, Domingo, 2003 , pág. 15–25.

Literatura

Hobby CR, Rice JR Un problema de momento en la aproximación L 1 // Actas de la American Mathematical Society. - Sociedad Matemática Americana, 1965. - vol. 16 , edición. 4 . -doi : 10.2307/ 2033900 . — .
Alan Pinkus. Una demostración simple del teorema de Hobby-Rice // Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense. - Sociedad Matemática Americana, 1976. - V. 60 , no. 1 . -doi : 10.2307/ 2041117 . — .
Noga Alon. Partiendo Collares // Avances en Matemáticas. - 1987. - vol. 63 , edición. 3 . - doi : 10.1016/0001-8708(87)90055-7 .
Simmons FW, Su FE Reducción a la mitad por consenso a través de los teoremas de Borsuk-Ulam y Tucker // Ciencias sociales matemáticas . - 2003. - vol. 45 . - doi : 10.1016/S0165-4896(02)00087-2 . Archivado desde el original el 10 de agosto de 2017.