División exacta

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Una división exacta , también llamada división a partes iguales o división convenida , es la división de un recurso heterogéneo (por ejemplo, un pastel ) en varios subconjuntos, de tal manera que cada una de las personas con diferentes gustos está de acuerdo en la evaluación de las piezas [1 ] .

Considere un pastel que es mitad chocolate y mitad vainilla. Alice solo quiere la parte de chocolate y George solo necesita la de vainilla. El pastel se divide en tres partes: una parte es 20% chocolate y 20% vainilla, la segunda parte es 50% chocolate y 50% vainilla, y la tercera parte contiene el resto del pastel. Esta división es consistente, ya que tanto Alice como George valoran las tres partes en 20%, 50% y 30%, respectivamente.

Como ilustra el ejemplo, una división acordada no es necesariamente justa. Por ejemplo, si se le da una parte del 20% a Alice y una parte del 50% a George, obviamente esto no es justo para Alice. En la teoría del corte de torta , las divisiones consistentes a menudo se usan como subprocedimientos para crear divisiones justas.

Las divisiones acordadas siempre existen, pero no se pueden encontrar mediante protocolos discretos (con un número finito de solicitudes). En algunos casos, las divisiones exactas se pueden encontrar moviendo los protocolos de la cuchilla. Se pueden encontrar divisiones casi exactas mediante protocolos discretos.

Definiciones

Sean k pesos cuya suma sea 1. Suponga que todos los participantes califican todo el pastel C en 1. ${\displaystyle w_{1},w_{2},\ldots,w_{k))$

La división exacta (o división consistente ) en una relación es dividir el pastel en k partes: , entonces para cualquier miembro i y cualquier parte j : ${\displaystyle w_{1},w_{2},\ldots,w_{k))$ ${\displaystyle C=X_{1}\sqcup \cdots \sqcup X_{k))$

V_{i}(X_{j})=w_{j}

Es decir, hay acuerdo entre todos los participantes en que el valor de la pieza j es exactamente [1] . ${\ Displaystyle w_ {j}}$

División casi exacta

Porque cualquier división casi exacta en una relación es una división en la que $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},\ldots,w_{k))$

|V_{i}(X_{j})-w_{j}|<\varepsilon

Es decir, hay acuerdo entre todos los participantes en que el valor de la pieza j es casi exactamente igual y la diferencia es menor que [1] . ${\ Displaystyle w_ {j}}$ $\varepsilon$

División perfecta

Una división perfecta es una división en la que un recurso se divide entre n participantes con estimaciones subjetivas, dando a cada participante exactamente 1/ n del recurso según las estimaciones de todos los participantes. Este es un caso especial de división exacta en el que todos los pesos son 1/ n .

División exacta con número arbitrario de cortes

Pastel homogéneo por partes, muchos participantes, cualquier peso

Un pastel se llama homogéneo por partes si se puede dividir en regiones R de modo que todos los participantes estén de acuerdo en que el valor de densidad de la medida de valor en cada región es homogéneo. Por ejemplo, considere un pastel redondo en el que 4 cuartos tienen varios tipos de decoraciones (crema, glaseado, fruta y chocolate). Los competidores pueden calificar cada tipo de decoración de manera diferente, pero no diferencian entre diferentes piezas de pastel con la misma decoración. Esto quiere decir que el valor de cada pieza para cada participante depende únicamente de la cantidad que reciba de cada zona.

La afirmación de que el pastel es homogéneo por partes es equivalente a la afirmación de que las estimaciones de los diversos participantes en la división son constantes por partes : cada parte del pastel es homogénea si y solo si es la intersección de n partes de n participantes.

Cuando el pastel es homogéneo por partes (y las estimaciones son constantes por partes), se puede obtener una división consistente de la siguiente manera:

Dividamos cada región en k subregiones de manera que la subregión j contenga exactamente las regiones. ${\ Displaystyle w_ {j}}$
Sea la pieza j la unión de las j -ésimas subregiones en todas las regiones R. Esto define una división consistente para los pesos dados.

Este algoritmo se puede generalizar a una familia de medidas de valor un poco más general, como las medidas lineales por partes [2] .

El número de cortes necesarios es , donde R es igual al número de regiones. $kR$

Torta general, muchos participantes, cualquier peso

Si las medidas de costo son contablemente aditivas y sin átomos , entonces existe una partición consistente para cualquier conjunto de pesos cuya suma sea 1. Esta es una consecuencia del teorema de convexidad de Dubins-Spanier .

Woodall [3] demostró que es posible construir tal partición en un pastel de intervalo como una unión contable de intervalos.

Bosquejo: considere el procedimiento de división para pasteles homogéneos por partes descrito anteriormente. En general, la torta no es homogénea por partes. Sin embargo, dado que las medidas de precios son continuas, es posible dividir el pastel en áreas cada vez más pequeñas de modo que las áreas se vuelvan cada vez más uniformes. Cuando este proceso converge a una división consensuada. $R\to\infty$

Fremlin demostró que es posible construir tal división como una unión finita de intervalos.

Stromquist y Woodall [4] han demostrado que esto es posible con un número mínimo de intervalos, véase el teorema de Stromquist-Woodall .

División exacta con un número mínimo de cortes

Supongamos que el pastel es un intervalo que consta de n subintervalos diferentes, y cada uno de los n participantes evalúa solo un área. Entonces, una división consistente del pastel en k subconjuntos requiere cortes, ya que cada una de las áreas debe cortarse en k piezas, que son iguales a los ojos del participante que evalúa esta área. Por lo tanto, existe una pregunta interesante sobre si siempre es posible obtener una división consistente con este número exacto de cortes. ${\ estilo de visualización n \ cdot (k-1)}$

Pastel de intervalo, dos participantes, muchos subconjuntos, cualquier peso

Dos participantes pueden llegar a una división acordada utilizando el procedimiento de cuchillo móvil de Austin .

El caso más simple es pesos 1/2, lo que significa que quieren cortar el pastel de tal manera que ambos acuerden obtener la mitad del valor del pastel. Esto se hace de la siguiente manera. Uno de los participantes mueve dos cuchillos sobre el pastel de izquierda a derecha, manteniendo siempre el valor entre los cuchillos exactamente igual a 1/2. Se puede demostrar (mediante el teorema del valor intermedio ) que en algún momento el valor entre los cuchillos para el otro participante también será exactamente 1/2. Otro participante exclama "¡alto!" en este punto se corta la pieza.

El mismo protocolo se puede utilizar para cortar una pieza cuyo valor es exactamente . $1/n$

Al combinar varias de estas piezas, puedes obtener una división consistente para cualquier proporción que sea un número racional . Sin embargo, esto puede requerir un gran número de incisiones.

Una mejor manera de obtener una división consistente es identificar los dos extremos del pastel para que se pueda considerar como un círculo. Es decir, cuando el cuchillo derecho llega al extremo derecho, inmediatamente pasa al extremo izquierdo y ahora se considera que la pieza entre los cuchillos es la unión de la pieza a la derecha del cuchillo derecho (que antes era el cuchillo izquierdo) y la pieza a la izquierda del cuchillo izquierdo (que antes era el cuchillo derecho). Entonces podemos encontrar una división consistente para cualquier . Un participante mueve los cuchillos cíclicamente alrededor del pastel, manteniendo siempre el valor entre ellos exactamente igual a p . Se puede probar que en algún momento el valor entre los cuchillos para el otro participante será exactamente igual a p [5] . Otro participante exclama "¡alto!" en este punto se corta la pieza. Solo requiere dos cortes. ${\ estilo de visualización p \ en [0,1]}$

Repitiendo el procedimiento anterior, se puede lograr una división consistente para los dos participantes para cualquier número de subconjuntos. El número de cortes es , donde es igual al número de subconjuntos. ${\ estilo de visualización 2 (k-1)}$ $k$

A partir de 2015, no se conocía ninguna generalización de este procedimiento de cuchillo móvil a más de 2 participantes [6] .

Pastel de intervalo, muchos participantes, dos subconjuntos, pesos iguales

Supongamos que el pastel es un intervalo con un valor total de 1. Debe dividirse en subconjuntos, cada uno de los cuales tiene un valor de exactamente 1/2 para todos los n participantes. Queremos usar el número mínimo de cortes, que es . $k=2$ ${\ estilo de visualización n (k-1) = n}$

Una división como esta siempre existe [7] . Esta es una consecuencia directa del teorema de Hobby-Rice . Esto también se puede demostrar sobre la base del teorema de Borsuk-Ulam [8] :

Cualquier partición de un intervalo que utilice cortes se puede representar como un vector de longitud , donde los elementos son las longitudes de los subintervalos. $norte$ $n+1$
Cualquier elemento del vector puede ser positivo (si pertenece al segmento #1) o negativo (si pertenece al segmento #2).
El conjunto de todas las particiones es una esfera . $S^{n}$
Defina como sigue: para cualquier partición x será un vector cuyo i -ésimo elemento es el valor de la pieza #1 en esta partición según el participante i menos 1/2. $V:S^{n}\a \mathbb {R} ^{n}$ $V(x)$
La función V es continua. Además, para todo x . $V(x)+V(-x)=0$
Por lo tanto, por el teorema de Borsuk-Ulam , existe x tal que . En esta división, todos los participantes valoran la pieza n.º 1 (y la pieza n.º 2) exactamente a la mitad. ${\ estilo de visualización V (x) = 0}$

Se puede encontrar una división consistente en dos subconjuntos basada en el lema de Tucker , que es una versión discreta del teorema de Borsuk-Ulam [9] .

Aunque las preferencias de los participantes están modeladas por medidas, las pruebas no requieren que las medidas de valoraciones sean subconjuntos aditivos. Las medidas de estimaciones también pueden ser funciones continuas en conjuntos definidos en álgebras completas de Borel y satisfacer todas las propiedades de las medidas excepto la aditividad contable. Entonces no se requiere que las puntuaciones de los miembros de los subconjuntos del pastel sean separables aditivamente [9] .

Pastel de intervalo, muchos participantes, muchos subconjuntos, pesos iguales

El teorema de existencia de la sección anterior se puede generalizar de piezas a un número arbitrario de piezas. Esto fue probado por Noga Alon en su artículo de 1987 sobre la división del collar . $k=2$

Hay varias medidas en un intervalo, todas absolutamente continuas con respecto a la longitud. La medida de todo el collar, según la medida , es igual a . Entonces es posible dividir el intervalo en partes (no necesariamente continuas), de modo que el valor de cada parte, según la medida , sea exactamente igual a . No se necesitan más cortes y este valor es óptimo. $norte$ $i$ $k\cdot a_{i}$ $k$ $i$ $ai}$ ${\ estilo de visualización (k-1) n}$

Pastel de intervalo, muchos participantes, dos subconjuntos, pesos arbitrarios

El teorema de existencia de la sección anterior se generaliza a pesos arbitrarios mediante el teorema de Stromquist-Woodall .

Torta multidimensional, muchos participantes, muchos subconjuntos, pesos iguales

El teorema de Stone-Tukey establece que dados n "objetos" medibles en un espacio n - dimensional , uno puede dividirlos en dos (de acuerdo con sus medidas , es decir, volumen) por un solo hiperplano ( n - 1) -dimensional .

En otras palabras: si el pastel es un espacio , y las medidas de las calificaciones de los participantes son finitas e iguales a cero en cualquier hiperplano bidimensional, entonces hay un medio espacio , cuyo valor es exactamente 1/2 para cada participante. Por lo tanto, hay una división consistente por una unidad de corte. $\mathbb{R} ^{n}$ $n-1$

La versión original de este teorema solo funciona si el número del pastel es igual al número de participantes. Por ejemplo, no es posible aplicar este teorema para dividir un sándwich tridimensional en cuatro participantes.

Sin embargo, hay generalizaciones que permiten tal división. No utilizan un cuchillo hiperplano, sino superficies polinómicas más complejas [10] .

Procedimientos de división casi exactos

El procedimiento de desmenuzar y envasar

Para uno dado, puedes darle a cada participante una pieza tal que todos los participantes crean que todos los valores difieren en menos de , es decir, para cualquier i y cualquier j [1] : $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

|V_{i}(X_{j})-w_{j}|<\varepsilon

El procedimiento de división casi exacto consta de dos pasos: desmoronamiento y empaque .

Paso de desmoronamiento : el objetivo es cortar el pastel en trozos pequeños ("migas"), de modo que cada concursante asigne un valor lo suficientemente pequeño a cada miga. Esto se hace de la siguiente manera. Sea k una constante. Pidamos al participante 1 que corte el pastel en k pedazos para que el precio de cada pedazo sea 1/ k . Pidamos al participante #2 que divida las piezas (usando no más de k -1 cortes) para que cada pieza tenga un precio de no más de 1/ k . Estas nuevas piezas, por supuesto, siguen teniendo un valor no superior a 1/ k para el participante #1. Continuamos el trámite con los socios No. 3, No. 4, ..., No. n . Finalmente, los precios para todos los n participantes de cada miga no superan 1/ k .

Paso de empaquetamiento : el objetivo aquí es dividir las migajas en n subconjuntos para que la suma de los valores en cada subconjunto j esté cerca de w j . A continuación se muestra una explicación no estricta del paso de embalaje para dos participantes (Alice y George) cuando los pesos son 1/2 [1] .

Tomamos una taza vacía.
Coloca una de las migas en un bol.
Si el tamaño de la taza llega a ser más de la mitad para cualquiera de los participantes, le damos la taza a este participante y le damos el resto de las migajas a otro participante.
De lo contrario (el valor de la taza es menor que la mitad para ambos participantes), si el valor de la taza es mayor para Alicia que para Jorge, encontramos una miga que es más valiosa para Jorge que para Alicia (esa miga debe existen, ya que la suma de los valores de las migajas es 1 tanto para Alice como para George). Agreguemos esta miga a la taza y pasemos al paso 2 del algoritmo.

Se puede demostrar por inducción que la diferencia entre la valoración de la taza de Alice y George nunca es mayor que 1/ k . Por tanto, cuando un compañero recibe una copa, ambos participantes la valoran entre 1/2-1/ k y 1/2+1/ k .

Formalmente, cada fragmento se puede representar como un vector de valores, uno por participante. La longitud de cada vector está limitada, es decir, para cada vector v : . Nuestro objetivo es crear para cada participante j un vector, cuyos elementos estén cerca de w j . Para hacer esto, necesitamos dividir los vectores en subconjuntos de manera que la suma de los vectores para cada subconjunto j sea lo suficientemente cercana a un vector cuyos elementos sean todos iguales a w j . Esto es posible por el teorema de W. Bergström [11] [12] . $||v||\leqslant {\sqrt {n}}/k$

El procedimiento de desmenuzar y empacar es un subprocedimiento en el protocolo Robertson-Webb . Este protocolo produce una división casi exacta y libre de envidia .

Brahms y Taylor [13] dieron otra explicación para el procedimiento de desmenuzar y envasar .

Mecanismos de la honestidad

Cualquier algoritmo de intercambio de consenso se basa en medidas de valoración proporcionadas por los participantes. Si el participante sabe cómo funciona el algoritmo, puede tener una razón para mentir para obtener más que en una división justa. Para evitarlo se pueden utilizar mecanismos de incentivos (veraces) compatibles [2] [14] .

El mecanismo más simple para la división veraz es: elegimos un participante al azar (con una probabilidad determinada por pesos) y le damos todo el pastel. Este mecanismo es trivialmente cierto porque no hace preguntas. Sin embargo, es consistente con las expectativas: el valor esperado de cada participante es exactamente igual al peso, y esto es cierto para cualquier medida de valor. Sin embargo, la partición resultante no es de ninguna manera una división consistente.

Mejor es un mecanismo de división veraz que funciona para un pastel donde todos los pesos son 1/ n , y se puede construir a partir de cualquier algoritmo existente (u oráculo) para encontrar una división consistente:

Pedimos a cada participante que informe sus puntuaciones.
Utilice un algoritmo/oráculo existente para generar una partición en la que todas las n piezas cuesten exactamente 1/ n según las funciones informadas por los participantes.
Realizamos una permutación aleatoria en una partición consistente y entregamos a cada participante una de las piezas.

Aquí, el valor esperado de cada participante sigue siendo 1/ n , independientemente de la función de calificación informada, por lo que el mecanismo sigue siendo verdadero: ningún participante puede beneficiarse de mentir. Además, un participante veraz garantiza un valor exactamente igual a 1/ n con probabilidad 1 (no solo por expectativa). Por lo tanto, los participantes tienen un incentivo para mostrar las verdaderas funciones de las calificaciones.

Imposibilidad

Es imposible lograr una división exacta en un número finito de solicitudes, incluso para dos participantes y pesos exactamente iguales a 1/2 [15] . Esto significa que lo mejor que se puede lograr con un algoritmo discreto es una división casi exacta.

Prueba : si el protocolo está en el paso k , tiene una colección de k piezas como máximo. Para realizar una división exacta, el protocolo debe encontrar un subconjunto exacto : el subconjunto de fragmentos que ambos socios evalúan exactamente como la mitad. Vamos a probar que para cualquier k hay situaciones en las que no hay un subconjunto exacto en el paso k , y por lo tanto el protocolo continuará indefinidamente.

Inicialmente, solo hay una pieza que ambos participantes evalúan con 1, por lo que obviamente no hay un subconjunto exacto. Después de un paso, un participante (por ejemplo, Alicia) tiene la tarea de cortar el pastel. Incluso si Alice corta el pastel en dos partes que cree que son iguales, pueden ser diferentes según George, por lo que nuevamente no hay un subconjunto exacto.

Supongamos ahora que estamos en el paso k y hay k piezas. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que cada pieza tiene un valor distinto de cero para ambos participantes. Esto se debe a que si Alice (por ejemplo) corta una pieza que evalúa como 0, George también puede evaluar esa pieza como 0, por lo que podemos descartar esa pieza y continuar con otras piezas.

El número total de subconjuntos distintos es ahora 2k y, según la hipótesis de inducción, ninguno de ellos es una partición exacta. En el paso k , el protocolo puede pedirle a Alice o George que corten una pieza en dos. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que George fue el cortador y que corta la pieza X en dos subpiezas: X1 y X2. Ahora, el número total de subconjuntos es 2k +1 : la mitad de ellos ya existen y, por suposición, no son exactos, por lo que la única posibilidad de encontrar un subconjunto exacto es buscar nuevos subconjuntos. Cada nuevo subconjunto se crea a partir de un subconjunto anterior en el que la pieza X se reemplaza por X1 o X2. Dado que George es un cortador, puede cortar de una manera que haga que uno de estos subconjuntos sea un subconjunto exacto de él (por ejemplo, si algún subconjunto que contiene una parte de X tiene un valor de 3/4, George puede cortar X para que X1 tiene un valor de 1/4 , en su opinión, por lo que el nuevo subconjunto tiene un valor de exactamente 1/2). Sin embargo, George no conoce las puntuaciones de Alice y no puede tenerlas en cuenta al cortar. Por lo tanto, existe una cantidad incontable de valores diferentes que pueden tener las valoraciones de las piezas X1 y X2 para Alicia. Dado que el número de subconjuntos nuevos es finito, hay un número infinito de casos en los que ningún subconjunto nuevo tiene el valor 1/2 para Alice, por lo que ningún subconjunto nuevo es exacto.

Comparación con otros criterios

La división exacta con pesos iguales ( ) es, en particular, también proporcional , libre de envidias e imparcial . $1/n$

Sin embargo, no es necesariamente eficiente en el sentido de Pareto , ya que en muchos casos es posible obtener una mejora en las estimaciones subjetivas y dividir los recursos para que todos los participantes reciban más de lo que les corresponde . $1/n$

Las divisiones exactas son mucho más fáciles si los participantes cooperan para determinar las acciones lugar de competir como en una división justa . Algunos autores la llaman división consistente [16] .

Mesa final

Nombre	Tipo de	Pastel	Estimaciones [17]	número de participantes ( n )	número de subconjuntos ( k )	número de cortes	peso
austin	Procedimiento para mover el cuchillo	Intervalo	Estafa	2	Un monton de	${\ estilo de visualización 2 (k-1)}$ (óptimo)	Ningún
Por partes homogéneo	procedimiento discreto	Por partes homogéneo	Con+Añadir+Pwl	Un monton de	Un monton de	Número de regiones	Ningún
Dubinsa - España	Prueba de existencia	Ningún	Con+Añadir	Un monton de	Ningún	Ilimitado	Ningún
División consistente	procedimiento sin fin	Intervalo	Estafa	Ningún	2	n (óptimo)	Igual
cortando el collar	Prueba de existencia	Intervalo	Con(+¿Agregar?)	Ningún	Ningún	$n(k-1)$ (óptimo)	Igual
Stromkvist - Woodall	Prueba de existencia	Redondo	Con+Añadir	Ningún	2	$2n-2$ (óptimo para algunas escalas)	Ningún
Piedra - Tukey	Prueba de existencia	n -dimensional	Con(+¿Agregar?)	norte	2	1 medio plano	Igual
migas y empaques	Procedimiento casi exacto	Ningún	Con+Añadir	Ningún	Un monton de	Ilimitado	Ningún

Véase también

Desafío de corte de pastel justo

Notas

↑ 1 2 3 4 5 Robertson, Webb, 1998 , pág. 127.
↑ 1 2 Chen, Lai, Parkes, Procaccia, 2013 , pág. 284–297.
↑ Woodall, 1980 , pág. 233–247.
↑ Stromquist, Woodall, 1985 , pág. 241–248.
↑ Fisher, Daniel. División por consenso de un pastel entre dos personas en proporciones arbitrarias . Matemáticas.SE. Recuperado: 23 junio 2015. (indefinido)
↑ Hay una generalización que le da a cada uno de los n participantes una pieza con un precio exactamente de acuerdo a su estimación. Pero no se trata de un desdoblamiento pactado, ya que los participantes pueden no pactar el precio de otras piezas que no le pertenecen. Consulte la sección "Muchos participantes" en Procedimientos para mover cuchillos de Austin . $1/n$
↑ Goldberg, West, 1985 , pág. 93–106.
↑ Alon, West, 1986 , pág. 623.
↑ 12 Simmons , Dom, 2003 , p. 15–25.
↑ Grünbaum, 1960 , pág. 1257–1261.
↑ Bergström, 1930 , pág. 205–219.
↑ Robertson, Webb, 1998 , pág. 126-128.
↑ Brams y Taylor 1996 , pág. 131–133.
↑ Mossel y Tamuz, 2010 , pág. 288–299.
↑ Robertson, Webb, 1998 , pág. 103-104.
↑ de Longueville, Živaljević, 2008 , p. 926–939.
↑ Requisitos para las funciones de evaluación de participantes. Menos requisitos significan resultados más generales. Con=Continuo; Con+Add=Aditividad; Con+Add+Pwl=Funciones lineales por partes.

Literatura

Jack Robertson, William Webb. Algoritmos de corte de torta: Sea justo si puede. - Natick, Massachusetts: AK Peters, 1998. - ISBN 978-1-56881-076-8 .
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