Teorema de monotonicidad de Alexandrov

El teorema de monotonicidad de Aleksandrov es un teorema sobre poliedros convexos , demostrado por A. D. Aleksandrov en 1937 [1] , [2] , [3] .

Formulaciones

Directo

Si se establece una correspondencia uno a uno entre las caras de dos poliedros convexos cerrados en el espacio euclidiano tridimensional de modo que (i) las normales unitarias a las caras correspondientes coincidan y (ii) ninguna de las caras pueda colocarse dentro de la cara correspondiente por traslación paralela, entonces los poliedros se obtienen a partir de otra por traslación paralela (y, en particular, son congruentes ).

A través de funciones monótonas

Una función se llama función poligonal monótona si tiene la propiedad: , si se puede colocar dentro de . $f(Q)$ $q$ $f(Q_{1})>f(Q_{2})$ $Q_{2}$ $Q_1$

Sean y politopos convexos cerrados en el espacio euclidiano tridimensional con caras y respectivamente, y para cualquiera se cumplan las siguientes condiciones: (i) las unidades normales a las caras y coinciden y (ii) existe una función monótona tal que . Entonces los politopos y se obtienen uno de otro por traslación paralela (y, en particular, son congruentes ). $P_1$ $P_2$ $Q_{1}^{1},\puntos,Q_{1}^{n}$ $Q_{2}^{1},\puntos,Q_{2}^{n}$ $k=1,\puntos,n$ $Q_{1}^{k}$ $Q_{2}^{k}$ $f_{k}$ $f_{k}(Q_{1}^{k})=f_{k}(Q_{2}^{k})$ $P_1$ $P_2$

Notas

Para el espacio tridimensional, el teorema de los poliedros convexos de Aleksandrov generaliza el teorema de unicidad de Minkowski , afirmando que "dos poliedros iguales con caras paralelas por pares y de áreas iguales son iguales y paralelas". De hecho, aquí es suficiente tomar el área como una función monótona de un polígono. $f(Q)$
El enunciado que resulta del teorema de Aleksandrov sobre poliedros convexos, si tomamos el perímetro como la función monótona de un polígono en él, es interesante porque durante más de 70 años los geómetras no han podido encontrar un teorema de existencia correspondiente. $f(Q)$
En un espacio euclidiano de dimensión 2, un enunciado análogo al teorema de los poliedros convexos de Aleksandrov es verdadero pero trivial .
En el espacio euclidiano de dimensión 4 (y en todas las dimensiones superiores), un enunciado similar al teorema de los poliedros convexos de Aleksandrov no es cierto . Como contraejemplo, podemos tomar un cubo de cuatro dimensiones con arista 2 y una caja rectangular de cuatro dimensiones con aristas 1, 1, 3, 3.
Para la igualdad de poliedros convexos multidimensionales cuando sus caras bidimensionales paralelas no se pueden incrustar, consulte [4] .

Véase también

Teorema de Alexandrov sobre el desarrollo de un poliedro

Notas

↑ AD Aleksandrov , Prueba elemental del teorema de Minkowski y algunos otros teoremas sobre poliedros convexos , Izvestiya AN SSSR. Ser. estera. 1 , nº 4, 597-606 (1937).
↑ AD Aleksandrov , Poliedros convexos . METRO.; L.: GITTL, 1950.
↑ LA Lyusternik , Figuras convexas y poliedros . M.: GITTL, 1956.
↑ I.A. Medyanik, Una generalización del teorema de unicidad por A.D. Aleksandrov para poliedros convexos cerrados en el caso del espacio $norte$ bidimensional, Ukr. geom. Se sentó. 8 , 91-94 (1970).