Teorema sobre generadores rectilíneos de un hiperboloide de una hoja

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 9 de septiembre de 2017; las comprobaciones requieren 2 ediciones .

Por cada punto de un hiperboloide de una hoja pasan dos rectas distintas , situadas íntegramente en esta superficie.

Prueba

Considere las líneas y , dadas como las líneas de intersección de los planos : $L_{1}$ $L_{2}$

$L_{1}:\quad \alpha \left({x \over a}-{z \over c}\right)=\beta \left(1-{y \over b}\right);\ ;\beta \left({x \sobre a}+{z \sobre c}\right)=\alpha \left(1+{y \sobre b}\right);\;\alpha ^{2}+\ beta ^{2}\neq 0$

$L_{2}:\quad \gamma \left({x \over a}-{z \over c}\right)=\delta \left(1+{y \over b}\right);\ ;\delta \left({x \sobre a}+{z \sobre c}\right)=\gamma \left(1-{y \sobre b}\right);\;\gamma ^{2}+\ delta ^{2}\neq 0$

Las líneas se encuentran totalmente en la superficie (para ver esto, basta con multiplicar las ecuaciones de los planos término por término). Además, por cada punto de la superficie pasa la única línea de la familia y la única línea de la familia . Estas líneas (es decir, pares de números y ) se encuentran a partir de sistemas homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales : $L_{1}$ $L_{2}$ ${\ estilo de visualización M_ {0} (X_ {0}, Y_ {0}, Z_ {0})}$ $L_{1}$ $L_{2}$ ${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta}$ ${\ estilo de visualización \ gamma, \ delta}$

$\alpha ,\beta :\quad \alpha \left({X_{0} \over a}-{Z_{0} \over c}\right)=\beta \left(1-{Y_{0) } \sobre b}\right);\;\beta \left({X_{0} \over a}+{Z_{0} \over c}\right)=\alpha \left(1+{Y_{0) }\sobre b}\derecha)$

$\gamma ,\delta :\quad \gamma \left({X_{0} \over a}-{Z_{0} \over c}\right)=\delta \left(1+{Y_{0) } \sobre b}\right);\;\delta \left({X_{0} \over a}+{Z_{0} \over c}\right)=\gamma \left(1-{Y_{0 }\sobre b}\derecha)$

cuyas matrices son degeneradas (es decir, los sistemas tienen soluciones no triviales) y tienen rango igual a 1 (es decir, todas las soluciones de cada uno de los sistemas son proporcionales y definen una sola recta). Queda por añadir que las rectas no coinciden (basta comprobar la no colinealidad de sus vectores directores).

Véase también

hiperboloide