Geometría tropical

La geometría tropical es un campo de las matemáticas que apareció en la década de 2000 , se originó originalmente en la informática y está asociada con la geometría algebraica y simpléctica . Los objetos estudiados en él son el límite de las imágenes de amebas de las variedades algebraicas ordinarias bajo la degeneración de estas últimas. [una]

El nombre "tropical" hace honor a la escuela brasileña [1] - el trabajo pionero del matemático brasileño de origen húngaro Imre Shimon [2] [3] [4] , que estudió el semiring tropical en relación con la informática y la optimización . teoría [5] .

Independientemente de la escuela brasileña, el término "tropical" se ha aplicado a la misma rama de las matemáticas desde mediados de la década de 1980 por VP Maslov . Según él, el "análisis idempotente (tropical)" a través de la termodinámica describió desde un punto de vista económico la colonización europea del África tropical . El término "idempotente" en la comunidad científica no arraigó, y el término "tropical" en relación con las nuevas matemáticas, como más armoniosa y espaciosa, resultó ser muy popular, aunque diferentes escuelas le dieron diferentes significados [6]. ] [7] .

Conceptos básicos

Semiring tropical (o semicampo tropical ) - un conjunto de números reales , equipado con operaciones de suma tropical y multiplicación tropical $\matemáticas {R}$ $\oplus$ $\odot$

x\oplus y=\max(x,y),\quad x\odot y=x+y.

Un polinomio tropical de grado en el plano es una función afín por partes de la forma $d$

f(x,y)=\bigoplus _{{i+j\leq d}}\,a_{{i,j}}\odot x^{{\odot i}}\odot y^{{\odot j }}=\max _{{{i+j\leq d}}(ix+jy+a_{{i,j}}).

De manera similar, un polinomio tropical en el caso general es una función afín por partes de la forma

f(x_{1},\dots,x_{n})=\bigoplus _{{|J|\leq d}}\,a_{{J}}\odot x^{{\odot J}}=\ max _{{|J|\leq d}}\,(a_{{J}}+\sum _{i}J_{i}x_{i}).

Una curva tropical sobre un plano correspondiente a un polinomio tropical de grado dado es un grafo sobre un plano cuyos vértices y aristas (finitas e infinitas) forman el conjunto de puntos de no suavidad de la función . Las aristas de este gráfico se consideran dotadas de multiplicidades: la arista que separa las regiones de linealidad correspondientes al conjunto de grados y está dotada de una multiplicidad igual al máximo común divisor de las diferencias y . $F$ $d$ $F$ $(yo, j)$ $(yo', j')$ $ii'$ $jj'$
En particular, una línea recta tropical es una unión de tres rayos que emanan de un cierto punto y se dirigen hacia abajo, hacia la izquierda y hacia la derecha a 45°. Las líneas tropicales tienen propiedades similares a las de las líneas ordinarias: exactamente una línea tropical pasa por dos puntos cualesquiera en posición general, y dos líneas tropicales en posición general se cruzan en un solo punto. $(x_{0},y_{0})$

Notas

↑ 1 2 Itenberg, Mikhalkin, Shustin. Geometría algebraica tropical, 2009 , p. vii.
↑ Copia archivada (enlace no disponible) . Fecha de acceso: 8 de enero de 2012. Archivado desde el original el 26 de septiembre de 2006. (indefinido)
↑ Matemáticas.dvi . Consultado el 8 de enero de 2012. Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ http://theor.jinr.ru/~belyov/articles/Litvinov_dequantize.pdf (enlace inaccesible)
↑ Fuente . Consultado el 8 de enero de 2012. Archivado desde el original el 23 de enero de 2012. (indefinido)
↑ Fuente . Consultado el 10 de julio de 2020. Archivado desde el original el 13 de julio de 2020. (indefinido)
↑ Sobre el análisis tropical | SpringerLink . Consultado el 10 de julio de 2020. Archivado desde el original el 10 de julio de 2020. (indefinido)

Literatura

Itenberg I., Mikhalkin G., Shustin E. Geometría algebraica tropical . - Basilea: Springer , 2009. - viii + 104 p. — (Seminarios de Oberwolfach).

M. E. Kazaryan . Geometría tropical . - M. : MTSNMO, 2012. - 43 p. — (Escuela de Verano "Matemáticas Modernas"). - 1000 copias. - ISBN 978-5-94057-966-3 .