Ángulo paralelo

El ángulo de paralelismo en la geometría de Lobachevsky es el ángulo entre la perpendicular a la línea dada y la línea asintóticamente paralela trazada desde un punto que no se encuentra en la línea dada.

En la geometría euclidiana, el ángulo de paralelismo siempre es recto.

En la geometría de Lobachevsky , el ángulo de paralelismo es siempre agudo. En el plano de Lobachevsky con curvatura −1, el ángulo de paralelismo de un punto a una distancia de la línea generalmente se denota . $a$ ${\ estilo de visualización \ Pi (a)}$

Propiedades y relaciones

${\ estilo de visualización \ Pi (a)}$ es un ángulo agudo en un cateto igual a , en un triángulo hiperbólico rectángulo que tiene dos lados asintóticos paralelos. $a$
$\lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi \quad {\text{ y }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi(a)=0.$

$\sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\operatorname {ch} a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{ -a}}}\ ,$

$\cos \Pi (a)=\operatorname {th} a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}} \ ,$

$\operatorname {\rm {tg}} \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\operatorname {sh} a}}={\frac {2}{e^ {a}-e^{-a}}}$

$\operatorname {\rm {tg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{-a},$

$\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi -\operatorname {gd} (a),$

donde sh, ch, th, sech y csch son funciones hiperbólicas y gd es la función de Gudermann .

Historia

El ángulo de paralelismo fue considerado por Lobachevsky [1] . En particular, derivó la relación

\operatorname {\rm {ctg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{a}.

Enlaces

↑ Lobachevsky, NI Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallelinien. — Berlín, 1840.

Literatura

D. Mordukhai-Boltovskoy . Sobre construcciones geométricas en el espacio de Lobachevsky // In mem. Lobatschevskii. - 1927. - T. 2 . — S. 67–82 . (Ruso)
Lobachevski , Nikolai Ivanovich Estudios Geométricos en la Teoría de las Líneas Paralelas . - M. - L .: Editorial de la Academia de Ciencias de la URSS, 1945. - 176 p.